Υποτύπωσις αστρονομικών υποθέσεων/Περί ηλίου

Από Βικιθήκη
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Ὑποτύπωσις ἀστρονομικῶν ὑποθέσεων
Συγγραφέας: Πρόκλος
Περὶ ἡλίου



Ἐπειδὴ τοίνυν τὸν ἥλιον ὁρῶμεν τὴν ἑαυτοῦ περίοδον κατὰ λοξοῦ κύκλου ποιούμενον τοῖς παραλλήλοις καὶ μεθιστάμενον ἐπί τε τὰ νοτιώτερα καὶ βορειότερα τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ γράφοντα κύκλον ἀεὶ τὸν αὐτόν, ὃν δὴ καλοῦσι διὰ μέσων τῶν ζῳδίων–αἴτιον δὲ τῆς τοιαύτης προσηγορίας τὸ τοὺς ἄλλους καὶ ὑπὲρ τοῦτον καὶ εἴσω τούτου πολλάκις γινομένους ποιεῖσθαι τὰς ἐπὶ τὰ πλάγια τροπάς, τὸν δὲ ἥλιον ἀεὶ τὸν αὐτὸν καὶ ἕνα διαπορεύεσθαι τοῦτον μέσον ὄντα τῶν ἄλλων λοξῶν, οὓς οἱ ἄλλοι γράφουσιν εἴσω τε αὐτοῦ καὶ ἔξω ποιούμενοι τὰς ὑποχωρήσεις ἐφ' ἑκάτερα διὰ τὸ ποικιλωτέρας εἶναι τὰς φαινομένας ἐκείνων κινήσεις –ἐπειδὴ τοίνυν ταῦτα καὶ διὰ τῆς αἰσθήσεως ἡμῖν ἐστιν ἐναργῆ, δεῖ πρῶτον ἡμᾶς πιέσαι τό τε βόρειον πέρας καὶ τὸ νότιον τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου καὶ γνῶναι, πόσον ἑκάτερον τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων ἀφέστηκεν, ἵνα καὶ πόσον διεστᾶσιν οἱ πόλοι τοῦ τε ἡλιακοῦ λοξοῦ καὶ τῶν παραλλήλων γινώσκωμεν. τὸ γὰρ αὐτὸ τούτων τέ ἐστι διάστημα καὶ τὸ τῶν εἰρημένων περάτων πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων, ὡς ὑπέμνησται πρότερον.

Πρὸς δὴ τὴν τούτων κατάληψιν, ἐπειδὴ τῇ αἰσθήσει βουλόμεθα τὸ βόρειον τοῦ κύκλου καὶ τὸ νότιον πέρας λαβεῖν, ὄργανον ἐκδέδοται τοιόνδε, ἵνα μηδὲ τούτων ἀπείρως ἔχῃς.

Κατεσκευάσθω κύκλος χαλκοῦς τῷ μεγέθει σύμμετρος, ἵνα μήτε διὰ τὴν ὑπερβολὴν ᾖ δυσκίνητος, μήτε διὰ τὴν ἐλάττωσιν πρὸς τὰς κατατομὰς ἀνεπιτήδειος. εἴη δ' ἂν σύμμετρος ἔχων τὴν διάμετρον μὴ ἐλάττονα ἡμιπηχυαίου μεγέθους, ὥστε εἶναι οἵων ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ς, τοιούτων τὸ βάθος αὐτοῦ τεσσάρων καὶ τὸ πλάτος δύο καὶ ἡμίσεος. δεῖ δέ σε γνῶναι, τί καλῶ πλάτος καὶ τί βάθος.

Ἐξέσθω τοίνυν ὁ κύκλος κατὰ τὴν περίοδον τὴν ἑαυτοῦ μὴ περιφερῶς, ἀλλ' οὕτως, ὥστε τὴν ἐκτὸς ἐπιφάνειαν εἰς γωνίας περατοῦσθαι συναπτούσας τοῖς ἐφ' ἑκάτερα ἐπιπέδοις, ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ἐντός. καὶ οὕτως ἀκριβῶς τετορνεύσθω, ὥστε εἶναι τετραγωνικὰς τὰς κλίσεις, τουτέστιν ὀρθὰς τῆς τε ἐντὸς καὶ τῆς ἐκτὸς περιφερείας πρὸς τοὺς κροτάφους. οὕτω δὴ οὖν τοῦ κύκλου ξεσθέντος βάθος μὲν καλῶ τοῦ κύκλου τὸ ἀπὸ τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας εἰς τὴν κοίλην διάστημα, ὅσον ἐπέχει τὰ ἐπίπεδα τὰ ἐφ' ἑκάτερα τῶν δύο τούτων ἐπιφανειῶν, πλάτος δὲ τὸ ἑκατέρας διάστημα τὸ μεταξὺ τῶν δύο ἐπιπέδων. δῆλον ἄρα ὅτι δεῖ τὴν μὲν ἐκ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐκτὸς ἐπιφανείας εἶναι τμημάτων ς, τὴν δὲ ἐκ τοῦ αὐτοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐντὸς καὶ κοίλης τῶν αὐτῶν θ καὶ ν, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς κοίλης ἐπὶ τὴν κυρτὴν τεττάρων, οἵων ἦν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς κοίλης θ καὶ ν καὶ ἡ μέχρι τῆς κυρτῆς ς, τὸ δὲ ἀπὸ θατέρου τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ λοιπὸν τῶν πρὸς ὀρθὰς ταῖς δυσὶ ταύταις ἐπιφανείαις δύο τῶν αὐτῶν τμημάτων καὶ ἡμίσεος.

Τοῦτον οὕτως ξέσαντες τὸν κύκλον διαιρήσομεν αὐτὸν εἰς τς ἴσα διαστήματα κατὰ θάτερον τῶν ἐπιπέδων, ὃ ἐκάλουν βάθος, καὶ εἰς ὅσα τούτων ἐλάττονα δυνατόν, ὥστε καὶ ἕκαστον τυχὸν τῶν τμημάτων ὑποτεμεῖν εἰς ς, ἵνα μὴ μόνον ἔχωμεν τὴν κατὰ μοίρας αὐτοῦ τομήν, ἀλλὰ καὶ τὴν ἐλάττονα ταύτης τὴν εἰς λεπτά.

καὶ γὰρ ἀκριβεστέραν ἐκ τῆς ὑποδιαιρέσεως ἕξομεν τὴν κατάληψιν. οὐ γὰρ πάντως εἰς ὅλας μοίρας ἀποτελευτᾷ τῶν ζητουμένων περάτων ἡ πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων διάστασις, ἀλλ' εἰς λεπτά. καὶ δῆλον ὅτι διαιροῦντες εἰς τὰ ἐλάττονα τῶν μοιρῶν οὐχ ὅλον τὸ βάθος ἐγχαράξομεν ταῖς ἐντομαῖς, ἀλλὰ τὰς μὲν μοιριαίας γραμμὰς καθ' ὅλον, τὰς δὲ κατὰ τὰ λεπτὰ μεταξὺ τῶν μοιρῶν κατὰ τὸ ἥμισυ τοῦ βάθους, ἵνα καὶ ἡ ὄψις περιγράφῃ τὰς μοίρας καὶ τὰ λεπτά, τὰς μὲν ταῖς μείζοσι τομαῖς, τὰ δὲ ταῖς ἐλάττοσιν ὑποτομαῖς.

τμηθεὶς δὲ οὕτως ὁ κύκλος παρέξεται χρείαν ἡμῖν μεσημβρινοῦ, ἐφ' οὗ ζητήσομεν λαβεῖν τὸ μεταξὺ διάστημα τοῦ τε βορείου πέρατος καὶ τοῦ νοτίου τῆς ἡλιακῆς λοξώσεως.

Μετὰ δὲ τοῦτον ἕτερον κύκλον τορνεύσομεν, μεγέθει μὲν τηλικοῦτον, ὡς δύνασθαι τῇ κοίλῃ τῇ τοῦ μεσημβρινοῦ τὴν τούτου κυρτὴν ἀκριβῶς ἐναρμόζεσθαι καὶ ἐντὸς αὐτοῦ περιάγεσθαι τοῦτον μὴ ἐκπίπτοντα τῆς ἐφαρμόσεως. ἐκείνου δὲ τεττάρων ἔχοντος τὸ βάθος, οἵων ς ἦν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου, καθάπερ προείπομεν, οὗτος δύο καὶ ἡμίσεος ἐχέτω τῶν αὐτῶν τὸ οἰκεῖον βάθος, δηλονότι τοῦ πλάτους ἀμφοῖν ἴσου ὄντος, ἵνα οἱ κρόταφοι τῶν κύκλων ἐφ' ἑνὸς ὦσιν ἐπιπέδου καὶ ὅπως μὴ παραλλάττῃ τὸ ἐπίπεδον τοῦ μεσημβρινοῦ περιφερόμενος ὁ εἴσω κύκλος ἀκωλύτως κατά τε ἄρκτον καὶ μεσημβρίαν ὑπ' αὐτόν.

Τούτῳ δὴ τῷ ἐντὸς κύκλῳ προσθήσομεν δύο πηγμάτια ὀρθὰ πρὸς αὐτὸν κατὰ θάτερα αὐτοῦ μέρη, οἷον ἢ κατὰ τὸ ἀνατολικὸν αὐτοῦ μέρος ἢ κατὰ τὸ δυτικόν· ἀδιαφορεῖ γὰρ τοῦ μεσημβρινοῦ τὸ πλάτος πρὸς αἴσθησιν. τὰ δὲ πηγμάτια γινέσθω ἐκ λεπίδος χαλκῆς ἀκριβῶς παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου καὶ διαύγιον ἐχέτω κατὰ τὸ μέσον, οἷον κατὰ τὴν συμβολὴν τῶν ἐν αὐτοῖς διαγωνίων. τούτων δὲ ἑκατέρου γεγονέτω τρίγωνα ὀρθογώνια ἐκφυῆ, πρὸς ὀρθὰς ὄντα τοῖς παραλληλογράμμοις, ὡς τὴν βάσιν αὐτῶν εἶναι τὴν ἡμίσειαν τῆς ἐλάττονος πλευρᾶς. καὶ ταῦτα συμπαγήτω κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις ἐπὶ τοῦ ἐντὸς ὡς εἴρηται κύκλου οὕτως, ὡς τὰ μὲν παραλληλόγραμμα πρὸς ὀρθὰς ἑστάναι τῷ κροτάφῳ τοῦ κύκλου, τὰ δὲ τρίγωνα ὑπεραίρειν τὸ τούτου βάθος καὶ κατὰ τὰ ἄκρα <τὰ> ἑαυτῶν ὑπερεκπίπτειν εἰς τὸ βάθος τοῦ ἐκτὸς κρίκου, ἵνα περιαγομένου τοῦ ἐντός, ἑστῶτος δὲ ἑδραίου τοῦ ἐκτός, τὰ ἄκρα τῶν τριγώνων δεικνύῃ τὰς μοίρας, εἰς ἃς κατατέτμηται τοῦ ἐκτὸς κύκλου τὸ βάθος, τῆς διοπτείας ἡμῖν γιγνομένης διὰ τῶν παραλληλογράμμων ὀρθῶν τε ἑστώτων καὶ τετρημένων κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις.

Καὶ ἡ δέσις δὲ τῶν κύκλων τούτων οὕτως κατεσκευάσθω. δύο γεγονέτωσαν λεπίδες καὶ παρ' ἑκάτερα τοῦ βάθους τοῦ μείζονος κρίκου πηγνύσθωσαν, ὡς διατείνειν καὶ εἰς τὸ τοῦ ἐλάττονος βάθος καὶ ἐν ἑαυταῖς κατέχειν αὐτὸν μὴ ἐξολισθαίνοντα τῆς κοίλης ἐπιφανείας τοῦ μείζονος, ἀλλ' οὕτως, ὡς μὴ κωλύειν αὐτοῦ τὴν περιαγωγήν. οὕτω δὲ τῶν κύκλων συμπαγέντων γεγονέτω στυλίσκος τὴν μὲν βάσιν ἔχων τετράγωνον ἀκριβῶς, τὸ δὲ μῆκος σύμμετρον, οἷον ὀκτὼ δακτύλων, εἰς δὲ τὸ ἄνω μέρος, ὅπου μέλλουσιν οἱ κύκλοι ἐναρμόζεσθαι, σωληνοειδῆ περιφέρειαν τετράγωνον κατὰ τὴν κοιλότητα καὶ τοιαύτην, οἵαν ὁ ἐκτὸς ἔχει κρίκος τὴν διασχημάτισιν. καὶ ὁ μὲν στυλίσκος ἱδρύσθω ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ ὁρίζοντι κατὰ γραμμῆς μεσημβρινῆς ληφθείσης, ὡς τῆς βάσεως αὐτοῦ τετραγωνικῆς οὔσης τὴν γραμμὴν ταύτην ἀκριβῶς τέμνειν δίχα τὸ τετράγωνον εἰς δύο παραλληλόγραμμα.

ὁ δὲ κρίκος ὁ μεσημβρινὸς ὁ ἔχων τὸν ἕτερον ἐντὸς ἐναρμοζέσθω τῷ ἐπ' αὐτοῦ σωλῆνι καὶ συμπηγνύσθω ἑδραίως, ἵνα τούτου μένοντος ἐπὶ τοῦ στυλίσκου ὁ ἐντὸς περιαγόμενος ὑπ' αὐτὸν τήν τε διοπτείαν ἀκώλυτον παρέχῃ διὰ τῶν ὀρθῶν παραλληλογράμμων καὶ τὴν σημείωσιν τῶν μοιρῶν διὰ τῶν ἄκρων τῶν τριγώνων τῶν ἐληλαμένων μέχρι τοῦ ἐκτὸς κρίκου καὶ τοῖς ἄκροις τοῖς ἑαυτῶν ταῖς τομαῖς ταῖς ἐν τῷ βάθει τῷ ἐκείνου συμβαλλόντων.

Τὸ μὲν οὖν παράλληλον ἐπίπεδον τῷ ὁρίζοντι λαμβάνεται ὑποθεμάτων τινῶν ἔνθεν κᾀκεῖθεν καὶ πανταχόθεν ὑποβαλλομένων, οἷον πλακὸς κειμένης, ἐφ' ἧς ἱδρυνθῆναι δεήσει τὸν στυλίσκον, ἕως ἂν ἀκλινὴς γένηται κατὰ πάντα. καὶ ἔσται τοῦτο πιστόν, ἐὰν ὕδωρ ἐπιχεόμενον ἱστῆται ἐπ' αὐτοῦ κατὰ μηδὲν μέρος ἐκρέον ὡς ἂν κοιλότερον ὄν, ὡς τῶν βαρέων ἐπὶ τὸ κοιλότερον δὴ κατὰ φύσιν τῆς φορᾶς οὔσης.

Ἡ δὲ μεσημβρινὴ γραμμὴ λαμβάνεται γνώμονος ὀρθοῦ στάντος ἐπὶ τῆς πλακὸς ταύτης καὶ κύκλου γραφέντος περὶ τὴν ῥίζαν τοῦ γνώμονος ὡς περὶ κέντρον καὶ τηρησάντων ἡμῶν, πότε πρὸ μεσημβρίας τὸ ἄκρον τῆς σκιᾶς τοῦ γνώμονος ἐπὶ τὸν κύκλον πίπτει, καὶ λαβόντων τὸ σημεῖον ἀκριβῶς, καὶ αὖ πάλιν, πότε μετὰ μεσημβρίαν, καὶ λαβόντων ὡσαύτως καὶ τοῦτο τὸ σημεῖον, καὶ διὰ παραθέσεως ἀκριβοῦς κανόνος ἐπιζευξάντων εὐθεῖαν ἀπὸ τοῦ πρὸ μεσημβρίας ληφθέντος σημείου εἰς τὸ μετὰ μεσημβρίαν εἰλημμένον καὶ τεμόντων δίχα ταύτην τὴν εὐθεῖαν καὶ τοῦ αὐτοῦ κανόνος τῇ παραθέσει εἰς τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἀπὸ τῆς διχοτομίας εὐθεῖαν ἀγαγόντων καὶ ἐκβαλόντων ἄχρι τῆς περιφερείας. αὕτη γὰρ ἔσται σοι μεσημβρινὴ γραμμὴ πανταχόθι ταύτην ἔχουσα τὴν ἐπωνυμίαν, διότι ἐν ταῖς μεσημβρίαις αἱ ἀπὸ τῶν γνωμόνων σκιαὶ πίπτουσιν ἐπ' αὐτῆς.

Δεῖ τοίνυν τὸν στυλίσκον θεῖναι ἐπὶ ταύτης κατὰ τὴν τομὴν τῆς βάσεως τὴν εἰρημένην καὶ θέντας σκοπεῖν, πότε ἡ κοιλότης ὅλη τοῦ ἐντὸς κρίκου σκιάζεται, καὶ ὅταν τοῦτο γένηται, μεσημβρίαν οἴεσθαι εἶναι, καὶ τὸν ἥλιον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εἶναι τοῦ μεσημβρινοῦ, καὶ οὕτω λοιπὸν παραφέροντας τὸν ἐντὸς κρίκον ὁρᾶν, πότε δι' ἀμφοτέρων τῶν διαυγειῶν πίπτει ἡ ἀκτίς, καὶ ὁπόταν τοῦτο γένηται, ὁρᾶν τὸ ἄκρον τοῦ τριγώνου τὸ μεσημβρινώτερον, κατὰ ποίας ἔσται μοίρας, καὶ σημειοῦσθαι τὴν μοῖραν ἐκείνην.

ἐὰν δὴ ταῦτα ποιήσωμεν τοῦ ἡλίου περὶ τὸ τέλος ὄντος τοῦ Τοξότου καὶ αὐτὴν ἐπέχοντος τὴν ἀποτελεύτησιν τοῦ ζῳδίου, καὶ ὁμοίως περὶ τὸ τῶν Διδύμων τέλος, καὶ λάβωμεν τὰς μοίρας τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν τριγώνων, οἷς ἐχρησάμεθα γνωμονίοις, ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ κύκλου, ἕξομεν, πόσον ἐστὶ τὸ πλάτος τῆς τοῦ ἡλίου λοξώσεως. καὶ τούτων τὰς ἡμισείας πάλιν λαβόντες εὑρήσομεν, πόσον ἑκάτερος τῶν τροπικῶν τοῦ τῶν παραλλήλων μεγίστου διέστηκε. τοῦτο δ' ἦν τὸ προκείμενον, ᾧ συνακολουθεῖ καὶ τὸ τὴν μεταξὺ περιφέρειαν εἶναι δήλην τοῦ τε τῶν παραλλήλων πόλου καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ διὰ μέσων.

Κατείληπται τοίνυν ὀργανικῶς ἡ μεταξὺ τῶν προειρημένων πόλων περιφέρεια μοιρῶν κγ καὶ λεπτῶν πρώτων μὲν πεντήκοντα καὶ ἑνός, δευτέρων δὲ εἴκοσι. καὶ δῆλον ὡς ἐγγὺς αὕτη πεντεκαιδεκαγώνου πλευρᾶς ἐστι τοῦ εἰς τὸν μέγιστον ἐγγραφομένου κύκλον. τὸ μὲν δὴ πλάτος τῆς λοξώσεως ηὑρήσθω τοσοῦτον.

διπλασιάσαντες γὰρ τὰς μοίρας ταύτας καὶ τὰ λεπτὰ τά τε πρῶτα καὶ δεύτερα, πάντως ἕξομεν τὴν πᾶσαν τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου λόξωσιν, ἥτις ἐστὶν ἡ τοῦ διὰ τῶν πόλων γεγραμμένου μεταξὺ τῶν δύο τροπικῶν σημείων ἀπολαμβανομένη περιφέρεια. τὸ γὰρ διάστημα τὸ ταύτης ὁρίζει τὴν ὅλην τοῦ ζῳδιακοῦ λόξωσιν.

Ἐπειδὴ δέ, ὡς καὶ πρότερον εἴπομεν, καὶ ὁ ἥλιος καὶ οἱ ἄλλοι πλάνητες δείκνυνται, εἴπερ ὁμαλῶς κινοῦνται, μὴ ἐπὶ ὁμοκέντρων τῷ παντὶ κινούμενοι, φανερὸν ὅτι δεῖ λαβεῖν τοῦ ἡλίου τὸν ἔκκεντρον καὶ τὸ ἀπογειότατον αὐτοῦ καὶ τὸ περιγειότατον, καὶ πότε μὲν μείζονα δοκεῖ κεκινῆσθαι τῆς ἀληθοῦς, πότε δὲ ἐλάττονα, καὶ τὴν τούτων διαφοράν.

Ἔστω τοίνυν ὁ ἔκκεντρος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος περὶ τὸ Ε κέντρον. ἡ δὲ ὄψις ἡμῶν ἔστω μὴ ἐπὶ τοῦ Ε, ἀλλ' ἐπὶ τοῦ Ζ, ἵνα τοῦτο ᾖ καὶ τὸ τοῦ παντὸς κέντρον. ἀδιαφορεῖν δὲ τὴν ὄψιν ἡμῶν πρὸς τὸ Ζ κέντρον, ἐπειδὴ κέντρου καὶ σημείου λόγον ἔχειν τὴν γῆν δείκνυται πρὸς τὸ πᾶν. καὶ τοῦτο φανερόν, ὡς ἤδη εἴπομεν, ἀπὸ τοῦ τὰ ἡμίσεα τῶν κύκλων ἡμᾶς ἀεὶ ὁρᾶν ὑπὲρ γῆν τοῦ τε ζῳδιακοῦ καὶ τῶν ἄλλων μεγίστων, οἷον τοῦ ἰσημερινοῦ, τοῦ μεσημβρινοῦ, τοῦ γαλαξίου καὶ τῶν τοιούτων, ὡς ἂν ἐπὶ τοῦ κέντρου τῆς γῆς ἡμῶν κειμένου τοῦ ὄμματος, ἀλλ' οὐκ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας.

Κέντρου τοίνυν ὄντος κοσμικοῦ τοῦ Ζ νενοήσθω ὁ ἥλιος, ἀχθείσης τῆς δι' ἀμφοτέρων τῶν κέντρων, λέγω δὴ τῆς ΑΕΖΓ, ἀπὸ τοῦ Α ἀπογείου κινηθεὶς ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου ὁμαλῶς τὴν ΑΒ περιφέρειαν, καὶ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ἡ ΕΒ συμπεριαγομένη τῷ ἡλίῳ ἀπὸ τοῦ Α ἕως τοῦ Β. καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος ἐπὶ τὸν ἥλιον τὸ Β ἡ ΖΒ.

δῆλον οὖν ὅτι ὁρώντων ἡμῶν ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τὴν ΑΒ κατὰ τὴν ὑπὸ ΑΖΒ γωνίαν, δόξει ὁ ἥλιος τοσαύτην κεκινῆσθαι, ὅσην ἀφορίζει ἡ εἰρημένη γωνία. κεκίνηται δὲ οὐχ ὡς περὶ τὸ Ζ κέντρον, ἀλλὰ περὶ τὸ Ε. κεκίνηται ἄρα ὅσην ἀφορίζει ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ περὶ τὸ κέντρον οὖσα τοῦ ἐκκέντρου. εἰ μὲν οὖν ἡ αὐτὴ γωνία ἦν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, οὐδὲν ἂν διαφέρειν εἴπομεν ἢ ἀπὸ τοῦ Ε ὁρᾶν ἢ ἀπὸ τοῦ Ζ τὴν κίνησιν. ἐπειδὴ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία τῆς πρὸς τῷ Ζ–τριγώνου γὰρ ἐκτός ἐστι τοῦ ΕΒΖ–μείζονα κεκινημένος ἐλάττονα δόξει κεκινῆσθαι. ἔχομεν γὰρ ἐν τοῖς Ὀπτικοῖς, ὅτι τοῖς μεγέθεσι τῶν πρὸς τῷ ὄμματι γωνιῶν τὰ μεγέθη τῶν ὁρατῶν μείζοσιν ἢ ἐλάττοσιν οὖσι μείζω καὶ ἐλάττω φαίνεται.

Ὁμοίως εἰ ἀπὸ τοῦ Α νοήσαις τὸν ἥλιον ἐπὶ τὸ Θ κεκινῆσθαι καὶ ἐπιζεύξαις τὰς ΕΘ ΖΘ, μείζων ἡ ὁμαλὴ τῆς φαινομένης δειχθήσεται ἡ οὖσα πρὸς τῷ Ε τῆς πρὸς τῷ Ζ φαινομένης. Πάλιν ἐκβληθείσης τῆς ΒΕ εἰς τὸ Δ νενοήσθω ὁ ἥλιος ἀπὸ τοῦ Γ κινηθεὶς τὴν ΓΔ. εἰ μὲν οὖν ἀπὸ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου ὁμαλῶς τὴν ΑΒ περιφέρειαν, καὶ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ἡ ΕΒ συμπεριαγομένη τῷ ἡλίῳ ἀπὸ τοῦ Α ἕως τοῦ Β. καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος ἐπὶ τὸν ἥλιον τὸ Β ἡ ΖΒ.

δῆλον οὖν ὅτι ὁρώντων ἡμῶν ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τὴν ΑΒ κατὰ τὴν ὑπὸ ΑΖΒ γωνίαν, δόξει ὁ ἥλιος τοσαύτην κεκινῆσθαι, ὅσην ἀφορίζει ἡ εἰρημένη γωνία. κεκίνηται δὲ οὐχ ὡς περὶ τὸ Ζ κέντρον, ἀλλὰ περὶ τὸ Ε. κεκίνηται ἄρα ὅσην ἀφορίζει ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ περὶ τὸ κέντρον οὖσα τοῦ ἐκκέντρου. εἰ μὲν οὖν ἡ αὐτὴ γωνία ἦν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, οὐδὲν ἂν διαφέρειν εἴπομεν ἢ ἀπὸ τοῦ Ε ὁρᾶν ἢ ἀπὸ τοῦ Ζ τὴν κίνησιν. ἐπειδὴ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία τῆς πρὸς τῷ Ζ–τριγώνου γὰρ ἐκτός ἐστι τοῦ ΕΒΖ–μείζονα κεκινημένος ἐλάττονα δόξει κεκινῆσθαι. ἔχομεν γὰρ ἐν τοῖς Ὀπτικοῖς, ὅτι τοῖς μεγέθεσι τῶν πρὸς τῷ ὄμματι γωνιῶν τὰ μεγέθη τῶν ὁρατῶν μείζοσιν ἢ ἐλάττοσιν οὖσι μείζω καὶ ἐλάττω φαίνεται.

Ὁμοίως εἰ ἀπὸ τοῦ Α νοήσαις τὸν ἥλιον ἐπὶ τὸ Θ κεκινῆσθαι καὶ ἐπιζεύξαις τὰς ΕΘ ΖΘ, μείζων ἡ ὁμαλὴ τῆς φαινομένης δειχθήσεται ἡ οὖσα πρὸς τῷ Ε τῆς πρὸς τῷ Ζ φαινομένης. Πάλιν ἐκβληθείσης τῆς ΒΕ εἰς τὸ Δ νενοήσθω ὁ ἥλιος ἀπὸ τοῦ Γ κινηθεὶς τὴν ΓΔ. εἰ μὲν οὖν ἀπὸ τοῦ Ε τὴν τήρησιν ἐποιούμεθα, ἴσην ἂν ὤφθη κινηθεὶς τῇ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β˙ ἴσας γὰρ ὑποτείνουσι τὰς πρὸς τῷ Ε κέντρῳ γωνίας. ἐπειδὴ δὲ ἀπὸ τοῦ Ζ ὁρῶμεν τὴν ΓΔ, τῆς ΖΔ ἐπιζευχθείσης δόξει ἡμῖν ἡ ΓΔ τοσαύτη εἶναι, ὅσην ἀφορίζει ἡ ὑπὸ ΓΖΔ γωνία μείζων οὖσα τῆς ὑπὸ ΓΕΔ˙ ὥστε μείζονα φανήσεται τῆς ἀληθοῦς κινηθεὶς μετὰ τὸ Γ περίγειον, ὥσπερ ἐλάττονα μετὰ τὸ Α ἀπόγειον˙ διαφορὰ δέ, ὅπου μὲν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τοῦ ΒΕΖ τριγώνου, ὅπου δὲ ἡ πρὸς τῷ Δ τοῦ ΔΕΖ. μετὰ μὲν ἄρα τὸ ἀπόγειον ἀφαιρεῖν δεῖ τῆς ὁμαλῆς, ἵνα εὕρωμεν τὴν φαινομένην, μετὰ δὲ τὸ περίγειον προστιθέναι τῇ ὁμαλῇ τὴν διαφοράν, ἵνα πάλιν τὴν φαινομένην λάβωμεν. ἀναγκαῖον ἄρα πρότερον εὑρεῖν τοῦ ἡλίου τὸ κίνημα τὸ ὁμαλόν, πόσον ἐστίν, ἔπειτα τὸ φαινόμενον ἢ κατὰ πρόσθεσιν ἢ κατὰ ἀφαίρεσιν εὑρεῖν.

Ἐπὶ μὲν οὖν τῆς κατὰ ἔκκεντρον ὑποθέσεως οὕτως εὑρήσομεν τὴν διαφορὰν ἀεὶ τῆς τε ὁμαλῆς τοῦ ἡλίου κινήσεως καὶ τῆς φαινομένης. δεῖ δὲ τὰ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῆς ἑτέρας ἀποδεῖξαι, τῆς κατ' ἐπίκυκλον.

Ἔστω τοίνυν ὁμόκεντρος μὲν τῷ κόσμῳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ τὸ Ε κέντρον, ἐφ' οὗ κείσθω τὸ ὄμμα ἡμῶν. ὁ δὲ ἥλιος κινείσθω μὴ ἐπὶ τούτου τοῦ κύκλου –οὐ γὰρ ἂν ἐφαίνετο ἀνωμάλως κινούμενος ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ μείζονα καὶ ἐλάττονα διαστήματα–ἀλλ' ἐπὶ ἑτέρου κύκλου, ὃς ἀεὶ ἐχέτω τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφερείας. καὶ ἔστω οὗτος ὁ ΖΘ κύκλος, ἐκβεβλημένης ἐπ' αὐτὸν τῆς ΕΖ εὐθείας, ὥστε εἶναι τὸ Ζ ἀπογειότατον. κεκινήσθω οὖν ὁ μὲν ἐπίκυκλος ὁ ΖΘ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β συμπεριαγόμενος τῇ ΑΕ εὐθείᾳ, ὁ δὲ ἥλιος ἐπὶ τούτου ἀπὸ τοῦ Ζ ἀπογείου κατὰ τὰ αὐτὰ ἐπὶ τὸ Η. ἐν ᾧ οὖν χρόνῳ ὁ ἐπίκυκλος κεκίνηται τὴν ΑΒ περιφέρειαν, δῆλον ὅτι ἡ μὲν ὁμαλὴ ἔσται κίνησις ἡ τοῦ ἐπικύκλου ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, ἡ δὲ φαινομένη ἡ τοῦ ἡλίου μετὰ τῆς τοῦ ἐπικύκλου, ἥτις ἐστὶν ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΕ ἡ ἀφοριζομένη ὑπὸ τῆς <ὑπὸ> ΑΕΗ γωνίας˙ ὥστε ἡ φαινομένη τῆς ὁμαλῆς μείζων ἐστίν.

Πάλιν δὴ τοῦ ἐπικύκλου κινουμένου ὡσαύτως ὁ ἥλιος μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ φερέσθω, ἀλλ' ἐπὶ τὸ Κ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ Ζ. δῆλον οὖν ὡς κατὰ ταύτην τὴν ὑπόθεσιν, τῆς ὁμαλῆς οὔσης τῆς ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, ἡ φαινομένη εἴη ἄν, ἣν ἀφορίζει ἡ ὑπὸ ΑΕΚ γωνία ἐλάττων οὖσα τῆς ὁμαλῆς, ὃ καὶ ἐπὶ τῆς κατὰ ἔκκεντρον ἐδείκνυτο ὑποθέσεως. ἀλλ' ἐπ' ἐκείνης μὲν ἡ ἐκ τοῦ ἀπογείου κίνησις μείζονα ἐδείκνυ τὴν ὁμαλὴν πάντως τῆς φαινομένης, ἐπὶ δὲ τῆς κατ' ἐπίκυκλον ἐπὶ τὰ αὐτὰ μὲν τοῦ ἡλίου τῷ ἐπικύκλῳ φερομένου ἐλάττονα τὴν ὁμαλήν, ἐπὶ δὲ τἀναντία μείζονα ὡς ἐπὶ τῆς κατὰ ἔκκεντρον. ἐπεὶ οὖν τοῦτο κοινὸν ἀμφοτέραις ταῖς ὑποθέσεσι, δεῖ λαβεῖν καὶ ἐν τῇ κατ' ἐπίκυκλον ὑποθέσει τὸν μὲν ἐπίκυκλον εἰς τὰ ἑπόμενα κινούμενον, τὸν δὲ ἀστέρα ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου εἰς τἀναντία ὁμοταχῶς, ἵνα συναποκαθιστῆται ἀεὶ τὰ ὁμαλὰ τοῖς ἀνωμάλοις, τουτέστιν, ἵνα τοῦ ἐπικύκλου κινουμένου δύο λεπτά, εἰ τύχοι, ἢ τρία, καὶ ὁ ἥλιος ἐπ' αὐτοῦ τὰ ἴσα κινῆται, καὶ συναποκαθιστῶνται ὅ τε ἥλιος καὶ ὁ ἐπίκυκλος, <ὅ τε ἐπίκυκλος> ἐπὶ τοῦ κύκλου, καθ' οὗ φέρεται, οἷον τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ ΖΘ ἐπικύκλου.

Ἵνα δὲ καὶ ἀμφοτέρας τὰς ὑποθέσεις συναγάγωμεν, τοῦ ἀπογείου τὴν αὐτὴν ἀεὶ διάστασιν ἔχοντος ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἡμῶν καὶ τοῦ περιγείου, νοῆσαι δεῖ ἔκκεντρον μὲν τὸν ΑΒ περὶ τὸ Γ κέντρον, τὸ δὲ ὄμμα ἡμῶν ἐπὶ τοῦ Δ, ἴσην δὲ τῇ ΔΓ τὴν ΑΕ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Δ κύκλον τὸν ΕΖ καὶ ἐπίκυκλον ἐπ' αὐτοῦ τὸν ΑΘ, οὗ ἀπόγειον μὲν τὸ Α, περίγειον δὲ τὸ θ. τοιαύτης δὲ τῆς θέσεως οὔσης δῆλον ὅτι κατά τε τὸν ἔκκεντρον κινούμενος ὁ ἥλιος καὶ κατὰ τὸν ἐπίκυκλον ἔσται ἀπογειότατος μὲν ἐπὶ τοῦ Α, περιγειότατος δὲ ἐπὶ τοῦ Β, ὅταν ἐν τῷ κατὰ διάμετρον γένηται τόπῳ, ὥστε ἀντὶ μὲν τοῦ Α ἐν τῷ Κ εἶναι τοῦ ἐπικύκλου τὸ ἀπόγειον, ἀντὶ δὲ τοῦ Θ τὸ περίγειον ἐν τῷ Β. τότε γὰρ ὁ ἥλιος ἐν τῷ Β ἔσται, ὅπερ ἦν περίγειον καὶ τοῦ ΑΘ ἐπικύκλου.

Τοῦτο μὲν οὖν εἰς πλείονα σαφήνειαν τῶν ὑποθέσεων προσκείσθω, ὡς μηδὲν διάφορον λαμβανουσῶν τῶν ἀπογείων ἕνεκεν καὶ τῶν περιγείων. ἐκ δὲ τούτων δήλου ὄντος καὶ ὅτι τὴν μεταξὺ τῶν δύο κέντρων ἴσην ἀναγκαῖον εἶναι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἕως τῆς περιφερείας τοῦ ἐπικύκλου –ἓν γὰρ εἶναι δεῖ καὶ ταὐτὸ τὸ εἰς τὸ ἀπόγειον διάστημα καθ' ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἡμῶν–ἀνάγκη ζητεῖν, τίνα λόγον ἔχει ἡ μεταξὺ τῶν δύο κέντρων, οἷον ἡ ΓΔ, πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου. ὁ γὰρ αὐτὸς ἔσται δήπου λόγος καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ὁμοκέντρου τῷ διὰ μέσων˙ ἴσαι γὰρ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τοῦ τε ἐκκέντρου καὶ τοῦ ὁμοκέντρου, οἷον ἡ ΑΓ καὶ ἡ ΕΔ, ἵνα τὸ ἀπογειότατον ᾖ ταὐτόν, ὡς εἶπον.

τοῦτον οὖν τὸν λόγον ἐζήτησαν καὶ εὑρήκασι διὰ γραμμικῶν ἐφόδων, ἃς ἐπεισάγειν οὐκ εὔκαιρον· οὐ γὰρ ἄλλο τι πρόκειται νῦν ἢ τὰς ὑποθέσεις ἐφ' ἑαυτῶν ἐκθέσθαι σοι μόνας, αἷς χρώμενοι τὰς τῶν φαινομένων αἰτίας ἀποδιδόναι πειρῶνται. εἶναι δ' οὖν δεικνύουσι τὴν μεταξὺ τῶν δύο κέντρων τὴν ΓΔ εἰκοστοτέταρτον μέρος τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου, ὥστε καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ὁμοκέντρου τῷ διὰ μέσων εἴη ἂν ἔχουσα τὸν αὐτὸν λόγον ἀνάπαλιν εἰκοσικαιτετραπλασίονα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου.

Τούτων δὲ ἡμῖν σαφηνισθέντων ἕπεται λοιπὸν ἰδεῖν, ποῦ τὸ ἀπογειότατόν ἐστι τοῦ ἡλίου καὶ ποῦ τὸ περιγειότατον, λέγω δὲ οἷον κατὰ ποίαν τοῦ ζῳδιακοῦ μοῖραν, καὶ εἰ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀεὶ τούτων ἑκάτερον, ἢ κινεῖται καθάπερ ἐπὶ τῶν ἄλλων. πρὸς δὲ τὴν τούτων εὕρεσιν πρῶτον ἀναγκαῖον αὐτοῖς φαίνεται λαβεῖν, τίς ὁ ἡλιακός ἐστιν ἐνιαυτός, τοῦτο δέ ἐστιν εὑρεῖν, ἐν πόσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον ἀκριβῶς ἔρχεται. δεῖν δὲ τοῦτο θηρᾶσαι πάντως οὐ πρός τινα τῶν ἀπλανῶν ἀστέρων ποιουμένους τὴν τήρησιν τῆς ἀποκαταστάσεως· κινεῖσθαι γὰρ κᾀκείνους ἐπὶ τὰ ἑπόμενα· ὥστε εἰ πρὸς τούτους λαμβάνοις τὴν ἀποκατάστασιν, οἷον πρὸς τὸν ἐπὶ τῆς καρδίας τοῦ Λέοντος, ἀνάγκη σε μὴ μόνον τὸν κύκλον τὸν ἡλιακὸν λαμβάνειν, ἀλλὰ καὶ τὸ ἐπικίνημα τῆς καρδίας ἐν τῷ ἐνιαυτῷ, καὶ ταύτης ἐπὶ τὰ ἑπόμενα κεκινημένης ἑκατοστὸν μόριον μιᾶς μοίρας.

δεῖ οὖν, φασὶν οἱ τούτων πατέρες τῶν λόγων, πρὸς τὰ τροπικὰ σημεῖα καὶ τὰ ἰσημερινὰ τὴν ἀποκατάστασιν ὁρᾶν τῆς περιόδου τοῦ τε ἡλίου καὶ τῶν ἄλλων πλανήτων, ὡς ἂν ἀκινήτων ὄντων τῶν τε τροπικῶν καὶ τῶν ἰσημερινῶν. τοῦτο γὰρ οὗτοι καὶ σφόδρα κρατύνουσιν, εἰ καὶ ἄλλοις ἔδοξε καὶ τὰ τροπικὰ κινεῖν, οὐ μέντοι κατὰ κύκλον ὅλον, ἀλλ' ἐφ' ἑκάτερα μοίρας τινὰς καὶ αὖθις ὑποποδίζειν τὰς αὐτάς. πρὸς ταῦτα τοίνυν ὡς ἀκίνητα ποιούμενοι τὴν τήρησιν εὑρίσκουσι τὸν χρόνον, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἰς τὸ αὐτὸ παραγίνεται, οἷον ἀπὸ τροπῆς ἐπὶ τὴν αὐτὴν τροπὴν ἢ ἀπὸ ἰσημερίας ἐπὶ ἰσημερίαν τὴν αὐτήν, τχ ἡμερῶν καὶ ε καὶ δ μιᾶς ἡμέρας παρὰ τριακοσιοστόν· τοῦτο γὰρ εἶναι τὸ ἀκριβές.

Ὁ μὲν οὖν Αἰγυπτιακὸς ἐνιαυτὸς οὐκ ἐπιλογίζεται τὸ τέταρτον. διὸ οὐ προστίθησι ταῖς ἐπαγομέναις πέντε οὔσαις ἐπὶ τοῖς μησὶ τριακονθημέροις οὖσι διὰ τεττάρων ἐτῶν μίαν ἡμέραν, ὥστε ἑξήμερον ποιεῖν· ἀλλ' <οὐκ> ἐπισυναγόμενον τὸ τέταρτον τοῦτο καὶ τοὺς μῆνας τοὺς παρ' αὐτοῖς μεθίστησιν ἀνὰ πάσας τὰς ὥρας ἀνακυκλουμένους. οἱ δὲ ταῖς προειρημέναις ἑπόμενοι τηρήσεσιν οὐ μόνον παρὰ τέτταρα ἔτη ποιοῦσι τὸν ἐνιαυτὸν θ καὶ ξ καὶ τ ἡμερῶν, ἀλλὰ καὶ παρὰ τριακόσια ἔτη τὴν μίαν ἡμέραν οὐ προστιθέασι διὰ τὴν ἔλλειψιν τοῦ τριακοσιοστοῦ καθ' ἕκαστον ἔτος γινομένην.

Τοσοῦτον τοίνυν λαβόντες ἐκ τῶν τηρήσεων τὸν ἐνιαύσιον τοῦ ἡλίου χρόνον εὑρίσκουσι τὸ ὁμαλὸν ἡμερήσιον αὐτοῦ κίνημα μερίσαντες τὰ πλήθη τῶν τοῦ ζῳδιακοῦ μοιρῶν παρὰ τὸ τοῦ χρόνου πλῆθος. καὶ ἐπεὶ τὸ ἐνιαύσιον πλῆθός ἐστι τξε ἡμερῶν καὶ ιε πρώτων λεπτῶν διὰ τὸ τέταρτον, οὐ τελείων, ἀλλὰ παρὰ ιβ δεύτερα διὰ τὸ τριακοσιοστόν–εἰ γὰρ ἀναλόγως τὴν ἡμέραν τέμοιμεν τῇ μιᾷ μοίρᾳ, γενήσεται πρῶτα μὲν ἑξηκοστὰ τῆς μιᾶς ἡμέρας τὰ πάντα ξ, ὧν τὸ τέταρτον ιε, δεύτερα δὲ ἑξηκοστὰ ἑξηκοντάκις τὰ ς· τούτων δέ ἐστι τὸ τριακοσιοστὸν ιβ.

ὥστε ἔσται τὸ τέταρτον τῆς ἡμέρας ἀναλόγως τῇ μοίρᾳ τμηθείσης ιε πρώτων ἑξηκοστῶν· τοῦ δὲ τριακοσιοστοῦ ἀφαιρουμένου, ὅπερ ἐστὶ ιβ δεύτερα, λείπεται τέταρτον εἶναι· τούτου λοιπὰ ιδ πρῶτα καὶ μη δεύτερα, ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρώτου τῶν ιβ δευτέρων ὑφαιρεθέντων–παρὰ τοῦτο τοίνυν τὸ πλῆθος μερίσαντες τὰς μοίρας τῆς μιᾶς ἀποκαταστάσεως τὰς τς, συλλογίζονται τὸ ὁμαλὸν ἡμερήσιον κίνημα τοῦ ἡλίου εἶναι οὐ τέλειον μοιριαῖον, ἀλλὰ πρῶτα μὲν ἑξηκοστὰ ν καὶ θ, δεύτερα δὲ η, καὶ τρίτα ιζ, καὶ τέταρτα ιγ, καὶ πέμπτα ιβ, καὶ ἕκτα β καὶ λ· καὶ μέχρι τοσούτων προάγουσι τὸν ὑπομερισμὸν τῶν ἑξηκοστῶν, ὡς τῶν ἑβδόμων καὶ τῶν ἔτι βραχυτέρων ἀδιαφορούντων πρὸς αἴσθησιν. τοῦτο δ' οὖν τὸ ἡμερήσιον ὁμαλὸν κίνημα λαβόντες τὸ μὲν ὡριαῖον ἔχουσι, τὸ εἰκοστὸν καὶ τέταρτον τοῦ ἡμερησίου λαβόντες, τὸ δὲ μηνιαῖον, τοῦ ἡμερησίου τὸ τριακονταπλάσιον εὑρόντες.

Δεδειγμένου δὲ ἀπὸ τῶν τοιούτων συλλογισμῶν τοῦ ἐνιαυσιαίου πλήθους τοῦ χρόνου καὶ τοῦ ἡμερησίου καὶ τοῦ ὡριαίου καὶ τοῦ μηνιαίου, πάλιν ἐπὶ τὰς τηρήσεις ἐλθόντες–πάντα γὰρ τὰ παρ' αὐτοῖς ἀναγεγραμμένα ἢ τηρήσεις εἰσὶν ἢ συλλογισμοὶ ἀπὸ τῶν τηρήσεων, ἢ ἀποδείξεις γραμμικαὶ ἢ ὑποθέσεις μόνον–ὁρῶσιν, ὅτι διὰ πλείστου μὲν χρόνου διέξεισιν ὁ ἥλιος τὸ ἀπὸ Κριοῦ μέχρι Καρκίνου τεταρτημόριον, δι' ἐλαχίστου δὲ τὸ ἀντικείμενον τούτῳ, ὅ ἐστιν ἀπὸ Ζυγοῦ μέχρι Αἰγοκέρωτος, τῶν δὲ λοιπῶν ἐν ἐλάττονι μὲν τὸ ἀπὸ Αἰγοκέρωτος μέχρι Κριοῦ, ἐν πλείονι δὲ τὸ ἀπὸ Καρκίνου μέχρι Ζυγοῦ. καὶ ταῦτα τηρήσαντες πάλιν ἐσκόπησαν, ἐν τίνι τῶν δωδεκατημορίων τῶν τεσσάρων <τεταρτημορίων> τὸν πλεῖστον ποιεῖ χρόνον, καὶ ἐν τίνι τὸν ἐλάχιστον.

καὶ τοῦτο μέχρι τῆς ἀκριβοῦς καταλήψεως προάγοντες τὰ μὲν διὰ τηρήσεων, τὰ δὲ διὰ γραμμικῶν ἐφόδων ἀποδεικνύουσι τὸ μὲν ἀπόγειον εἶναι τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου μοιρῶν Διδύμων πέντε καὶ πρώτων ἑξηκοστῶν λ, τὸ δὲ περίγειον Τοξότου τῶν αὐτῶν. καὶ ἐπειδή, καθάπερ εἴρηται καὶ πρότερον, κατ' αὐτὰς μόνον ἀεὶ τὰς ἐποχὰς ἑώρων τὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα κινήματα τοῦ ἡλίου, μένειν αὐτοῦ τὸ ἀπόγειον εἰρήκασι καὶ τὸ περίγειον, καὶ μὴ ἐν ἄλλοις τοῦ ζῳδιακοῦ τμήμασιν ἢ ἀπόγειον ἢ περίγειον γίνεσθαί ποτε τὸν ἥλιον.

Τούτων δὴ οὖν ηὑρημένων δυνατὸν ἔσται σοι καὶ πίνακα ποιῆσαι δεικνύναι δυνάμενον ἀδιαλείπτως τὴν τοῦ ἡλίου κίνησιν. ἔστω γὰρ πίναξ χαλκοῦς εὐμεγέθης, εἰ δὲ μή, ξύλινος, ἔχων τὸν ζῳδιακὸν καταγεγραμμένον κύκλον εἰς τὰς οἰκείας μοίρας τετμημένον τὸν ΑΒ, καὶ τὰς μοίρας εἰς τὰ ἑξηκοστά, καὶ ταῦτα εἰς τὰ δεύτερα καὶ ἐφ' ὅσον δυνατόν, τῶν μοιρῶν μείζοσι γραμμαῖς διοριζομένων καὶ τῶν ἑξηκοστῶν πρώτων καὶ δευτέρων καὶ τῶν ἔτι ἐλασσόνων μορίων ἐλάσσοσι.

καὶ λαβὼν τὴν τοῦ ἀπογείου καὶ περιγείου δεδειγμένην μοῖραν, οἷον Διδύμων πέμπτην καὶ τριάκοντα πρῶτα λεπτὰ καὶ Τοξότου τὰ αὐτά, ἔγγραψον διάμετρον τούτων καὶ διελὼν τὴν διάμετρον τῷ κέντρῳ ἀπόστησον τοῦ κέντρου μίαν μοῖραν, μερίσας εἰς λ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσα, καὶ ταύτην τετραπλασίαν καὶ εἰκοσαπλασίαν λαβὼν καὶ κέντρῳ ταύτῃ χρώμενος ἐγχάραξον κύκλον εἴσω τοῦ διὰ μέσων τὸν ΕΖ. οὗτος γὰρ ἔσται σοι, περὶ ὃν ὁ ἥλιος κινεῖται.

καὶ λαβὼν τὴν νῦν οὖσαν ἐποχὴν τοῦ ἡλίου ἐκ τῶν ἐφημερίδων δίελε καὶ τὸν ἔκκεντρον εἰς μοίρας ξ καὶ τ καὶ εἰς λεπτὰ τὰς μοίρας καὶ τὰ λεπτὰ εἰς μόρια ἑξηκοστά, ἐφ' ὅσον δυνατόν, καὶ θὲς τὸν ἥλιον εἰς τὴν νῦν κατειλημμένην ἐποχήν.

καὶ ἔχων τὸ ἡμερήσιον ὁμαλὸν κίνημα τοῦ ἡλίου καθ' ἑκάστην ἡμέραν τοῦτο λαμβάνων ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου, ἐπιζεύγνυε ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ διὰ μέσων ἐπὶ τὸ σημεῖον, εἰς ὃ πίπτει ἡ τοῦ ἡμερησίου ὁμαλοῦ κινήματος λῆψις. καὶ διεκβάλλων ἕως τοῦ κεχαραγμένου σοι διὰ μέσων παραθέσει κανόνος ἀκριβοῦς ἕξεις ἐπ' ἐκείνου τὴν φαινομένην ἐποχήν. οἷον ἐπὶ τῶν γεγραμμένων κύκλων ἐὰν λάβῃς, ὅτι ὁ ἥλιός ἐστι κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ἐπιζεύξας τὴν ΔΘ καὶ ἐκβαλὼν εἰς τὸν διὰ μέσων εὑρίσκεις τὸ Κ σημεῖον καὶ ἀριθμεῖς τὰς ἀπὸ τοῦ ἀπογείου μοίρας, ὅσας ἀπέχει τοῦ ἀπογείου τοῦ Α, καὶ τὰ λεπτά, καὶ ἔχεις, ποῦ ἐστιν ὁ ἥλιος κατὰ τὴν ἐποχήν.

τέτμηται γὰρ ὁ διὰ μέσων εἰς τὰ δωδεκατημόρια καὶ τὰς μοίρας τούτων καὶ τὰ τούτων ἑξηκοστὰ πρῶτα καὶ δεύτερα καὶ μέχρις ὅσου δυνατόν. τὰς δὲ ἐπιζεύξεις ποιήσεις διὰ μέλανος, ἵνα ἐξαλείφειν αὐτὰς δύνῃ καθ' ἑκάστην καὶ ἄλλας ἐπιζευγνύναι, μόνων τῶν δύο κύκλων ἐγκεχαραγμένων τῷ πίνακι καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς τμημάτων καὶ τοῦ λόγου τῆς ἐκκεντρότητος.

Ἔστι μὲν οὖν ἁπλουστέρα τῶν ὑποθέσεων ἡ κατὰ ἔκκεντρον. δείκνυται δὲ καί, ὡς, εἴ τις ὑπόθοιτο ταύτην ὑπόθεσιν, γράφεται κατὰ συμβεβηκὸς ἡ κατ' ἐπίκυκλον, καὶ ὡς ταύτης πάλιν ὑποκειμένης καὶ ἡ κατὰ ἔκκεντρον ἀναφαίνεται κατὰ συμβεβηκὸς ὑπὸ τοῦ ἀστέρος γραφομένη. καὶ ἔχεις ταῦτα χαρίεντα θεωρημάτια ἐκκείμενα καὶ παρὰ τῷ Ἀντιοχεῖ Ἱλαρίῳ.

Ἔστω γὰρ ὁμόκεντρος τῷ διὰ μέσων ὁ ΑΒΓΔ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις διάμετροι αἱ ΑΓ καὶ ΔΒ, καὶ περὶ τὰ Α Β Γ Δ κέντρα γεγράφθωσαν ἐπίκυκλοι δηλονότι ἴσοι. καὶ ἔστω ὅ τε ἀστὴρ ἐπὶ τοῦ ἀπογειοτάτου κατὰ τοῦ Ε, καὶ ὁ ἐπίκυκλος κατὰ τῆς αὐτῆς εὐθείας δηλονότι, ἐφ' ἧς τὸ ἀπόγειον. καὶ κεκινήσθωσαν ὅ τε ἀστὴρ ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου καὶ ὁ ἐπίκυκλος ἐπὶ τοῦ ὁμοκέντρου ἰσοταχῶς ὁμοίας τεταρτημοριαίας διαστάσεις. οὐκοῦν ἐν ὅσῳ ὁ ἐπίκυκλος ἐπὶ τοῦ <ΑΒ τεταρτημορίου κινηθεὶς ἐπὶ τὸ> Β καὶ ὁ ἀστὴρ ἐπὶ τοῦ ΕΚ τεταρτημορίου κινηθεὶς γεγένηται ἐπὶ τὸ Κ τοῦ ἐπικύκλου, κατὰ συμβεβηκὸς ἔσται γραφεῖσα περιφέρεια ὑπὸ τοῦ ἀστέρος ἡ ΕΚ. πάλιν δὴ κεκινήσθωσαν ὁμοίας περιφερείας, οἷον τεταρτημοριαίας,

καὶ ἔστω ὁ μὲν ἐπίκυκλος ἐπὶ τοῦ Γ, καὶ ὁ ἀστὴρ τὴν ΚΝ κινηθεὶς ἐπὶ τοῦ Ν. πάλιν δὴ γράψει κατὰ συμβεβηκὸς ἑξῆς τὴν ΚΝ περιφέρειαν καὶ ἔσται ἡμικύκλιον κινηθεὶς καὶ ἡμικύκλιον γράψας τὸ ΕΚΝ. ὁμοίως καὶ ἑξῆς πάλιν τεταρτημόριον κινηθεὶς ὁ μὲν ἐπίκυκλος ἔσται ἐπὶ τοῦ Δ, ὁ δὲ ἀστὴρ ἐπὶ τοῦ Σ τοῦ ΕΝΤ ἐπικύκλου καὶ γράψει <κατὰ συμβεβηκὸς> τὴν ΝΣ περιφέρειαν. καὶ τὸ λοιπὸν τεταρτημόριον κινηθεὶς ὁ μὲν ἐπίκυκλος ἀποκατασταθήσεται ἐπὶ τὸ Α, ὁ δὲ ἀστὴρ ἐπὶ τὸ Ε γράφων τὴν ΣΕ περιφέρειαν.

Καὶ ὅτι μὲν ἡ ὑπὸ τῆς κινήσεως τοῦ ἀστέρος γραφεῖσα περιφέρεια κύκλος ἐστί, δῆλον, ἐπεὶ σημείων ἐν σφαίρᾳ κινουμένων αἱ γινόμεναι γραμμαὶ κύκλοι εἰσίν. ὥστε κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΚΝΣ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἔκκεντρος καὶ ἴσος τῷ ὁμοκέντρῳ τῷ ΑΒΓΔ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΒ καὶ ΣΔ, καὶ ἔστωσαν αἱ διάμετροι τοῦ ἐπικύκλου αἱ ΚΒΛ καὶ ΣΔΤ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΣ καὶ αἱ ΛΤ τομὰς ποιοῦσαι τὰς ΦΧ ἐπὶ τῆς ΑΓ. ἐπεὶ οὖν τεταρτημοριαῖαι αἱ ΚΝ καὶ ΝΣ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β καὶ Δ κέντροις ὀρθαί εἰσι, παράλληλοί εἰσιν αἱ ΚΒΛ καὶ ΣΔΤ. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι. αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε πάλιν εἰσὶ καὶ παράλληλοι. παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΚΦΣ καὶ ΒΟΔ καὶ ΛΧΤ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΚΟ καὶ ΟΣ παραλληλόγραμμά ἐστι, καί εἰσιν ἴσαι αἱ ΒΟ καὶ ΚΦ καὶ ΟΔ καὶ ΦΣ, καὶ ἔτι ἡ ΒΟ τῇ ΟΔ ἴση –ἐκ γὰρ τοῦ κέντρου τοῦ ὁμοκέντρου εἰσὶ–καὶ ἡ ἄρα ΚΦ τῇ ΣΦ ἐστὶν ἴση.

πάλιν ἐπεὶ ἡ ΚΒ τῇ ΦΟ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΚΒ τῇ ΕΑ–ἐκ κέντρου γὰρ ἀμφότεραι τοῦ ἐπικύκλου–καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΦΟ ἐστὶν ἴση. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΦ, ὅλη ἄρα ἡ ΕΦ τῇ ΑΟ ἴση ἐστί. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΟ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ ὁμοκέντρου, ἐδείχθη δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΚΦ καὶ ΣΦ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ὁμοκέντρου, καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΦ καὶ ΣΦ ἴση ἐστὶ τῇ ΕΦ˙ αἱ τρεῖς ἄρα εἰσὶν ἴσαι. κέντρον ἄρα ἐστὶ τὸ Φ τοῦ ΕΚΝΣ κύκλου, καὶ ἔστι τὸ τοῦ ὁμοκέντρου κέντρον τὸ Ο. ὥστε ὁ ΕΚΝΣ κύκλος καὶ ἔκκεντρος καὶ ἴσος ἐστὶ τῷ ὁμοκέντρῳ, καὶ ἡ μεταξὺ τῶν κέντρων ἡ ΟΦ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τῇ ΕΑ. καὶ γέγραπται ὁ ἔκκεντρος ὑπὸ τῆς κατ' ἐπίκυκλον κινήσεως τοῦ ἀστέρος.

Ὅτι δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου κινούμενος ὁ ἀστὴρ κατὰ συμβεβηκὸς γράφει ἐπίκυκλον κατὰ τοῦ ὁμοκέντρου τῷ διὰ μέσων φερόμενον ἐπὶ τὰ ἑπόμενα, δείξομεν οὕτως.

Ἔστω γὰρ ἔκκεντρος ὁ ΕΚΓ, καὶ κέντρον αὐτοῦ τὸ Φ, καὶ τοῦ ὁμοκέντρου τὸ Θ, καὶ διάμετρος ἡ ΕΑΦΘΓ· καὶ κεκινήσθω ὁ ἀστὴρ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τυχοῦσαν περιφέρειαν τὴν ΕΚ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ ἡ ΦΚ. καὶ διὰ τοῦ Θ κέντρου τοῦ ὁμοκέντρου παράλληλος ἤχθω τῇ ΦΚ ἡ ΘΖ. καὶ ἔστω ἴση ἡ ΖΘ τῇ ΘΕ. καὶ κείσθω ἡ ΦΚ ἴση τῇ ΘΒ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων, τουτέστιν ἡ ΘΒ καὶ ΦΚ, καὶ παράλληλοι, διὰ τοῦτο καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς ἴσαι τε καὶ παράλληλοι ἔσονται, τουτέστιν ἡ ΒΚ καὶ ΦΘ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΕΦ καὶ ΘΑ ἴσαι εἰσί, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΦΑ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΘ τῇ ΑΕ ἐστὶν ἴση˙ ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΘΦ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΦΘ ἴση. ἡ ΒΖ ἄρα τῇ ΒΚ ἔσται ἴση. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΖ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Κ. καὶ ἔσται ὁ ΚΛΖ ἴσος τῷ γραφομένῳ κέντρῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΕ.

καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΚΘ, καὶ αἱ ἀπεναντίον γωνίαι ἴσαι εἰσίν, καὶ ἔτι ἑκατέρα τῶν ἐκτὸς καὶ ἀπεναντίον. αἱ τρεῖς ἄρα γωνίαι εἰσὶν ἴσαι, τουτέστιν αἱ ΖΒΚ καὶ ΚΦΕ καὶ ΒΘΑ. καὶ εἰσὶ πρὸς τοῖς κέντροις· ὥστε καὶ αἱ περιφέρειαι, ἐφ' ὧν βεβήκασιν, ὅμοιαί εἰσιν αἱ ΕΚ καὶ ΑΒ, καὶ ἔτι ἡ τοῦ ἐπικύκλου ἡ ΖΚ. ὥστε ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ Κ, τῆς κοινῆς τομῆς τοῦ ἐπικύκλου καὶ τοῦ ἐκκέντρου, φαίνεται καὶ ὁ ἐπίκυκλος ἐπὶ τοῦ ὁμοκέντρου <ἐπὶ τοῦ Β>. καὶ ἐν ὅσῳ τὴν <ΕΚ> τοῦ ἐκκέντρου κινεῖται, ἐν τούτῳ καὶ τὴν ΖΚ τοῦ ἐπικύκλου γράψας φανήσεται, καὶ ὡς ἀπὸ τοῦ Α τὸ κέντρον <τὸ> ἑαυτοῦ ὁ ἐπίκυκλος ἐπὶ τὸ Β μετενέγκας.

Δεδειγμένης δὲ τῆς ὑποθέσεως, καθ' ἣν ὁμαλῶς κινούμενος ὁ ἥλιος φαίνεται ἀνωμάλως κινούμενος, τίνες μὲν αἱ διαφοραὶ τῆς ὁμαλῆς παρὰ τὴν φαινομένην, οἱ κανόνες διδάσκουσι, καὶ πότε μὲν ἀφαιρεῖν χρὴ τῆς ὁμαλῆς, ἵνα τὴν φαινομένην εὕρωμεν, μείζονος οὔσης καὶ πόσον, πότε δὲ προστιθέναι τὴν διαφορὰν ὡς ἐλάττονος οὔσης˙ ταὐτὸν γάρ, ὡς εἰώθασι λέγειν, τὴν προσθαφαίρεσιν ποιούμενοι τὸν φαινόμενον ἥλιον εὑρίσκομεν.

Δείκνυται δέ, ὅτι καὶ μεγίστη διαφορά ἐστι τῆς ὁμαλῆς καὶ τῆς φαινομένης, ἐπὶ μὲν τῆς κατὰ ἔκκεντρον ὑποθέσεως, ὅταν ἡ ἀπὸ τῆς ὄψεως ἡμῶν ἐπὶ τὸν φαινόμενον ἥλιον γένηται πρὸς ὀρθὰς τῇ διαμέτρῳ τῇ δι' ἀμφοτέρων τῶν κέντρων, ἐπὶ δὲ τῆς κατ' ἐπίκυκλον, ὅταν ἡ ἀπὸ τῆς ὄψεως ἡμῶν πάλιν ἐπὶ τὸν ἥλιον ἐφάπτηται τοῦ ἐπικύκλου, καὶ ὅταν ἀπὸ τῶν ἀπογείων εἰς τὸ περίγειον πορεύηται ἢ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου ἢ ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου, καὶ ὅταν ἀπὸ τοῦ περιγείου εἰς τὸ ἀπόγειον καθ' ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων, πλὴν ὅτι τὴν διαφορὰν προστιθέναι μὲν δεῖ πάντως κατὰ τὴν ἐκ τοῦ περιγείου κίνησιν διὰ τὸ ἐλάττονα εἶναι τὴν ὁμαλὴν τῆς φαινομένης, ἀφαιρεῖν δὲ κατὰ τὴν ἐκ τοῦ ἀπογείου διὰ τὸ ἀνάπαλιν μείζονα τὴν ὁμαλὴν τῆς φαινομένης ἀποδεδεῖχθαι.

Πεφασμένης δὲ τῆς περὶ τὸν ἥλιον ὑποθέσεως ἑξῆς ἐπὶ τὴν σελήνην ποικιλωτέρων ἐφόδων δεομένην προίωμεν καὶ τὴν αὐτῆς ὑπόθεσιν ὡς τύπῳ περιλαβεῖν ἑπομένην τοῖς περὶ ἥλιον λόγοις σαφῆ σοι καταστήσομεν.