Στοιχείωσις φυσική/1
| Στοιχείωσις φυσική Συγγραφέας: Βιβλίον πρῶτον |
Βιβλίον δεύτερον→ |
Ὅροι τοῦ πρώτου. I. Συνεχῆ ἐστιν, ὧν τὰ πέρατα ἕν. II. Ἁπτόμενά ἐστιν, ὧν τὰ πέρατα ἅμα. III. Ἐφεξῆς ἐστιν, ὧν μηδὲν μεταξὺ ὁμογενές. IV. Πρῶτός ἐστι χρόνος κινήσεως ὁ μήτε πλείων μήτε ἐλάττων τῆς κινήσεως. V. Πρῶτός ἐστι τόπος ὁ μήτε μείζων τοῦ περιεχομένου σώματος μήτε ἐλάττων. VI. Ἠρεμοῦν ἐστι τὸ πρότερον καὶ ὕστερον ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ὂν καὶ αὐτὸ καὶ τὰ μέρη.
1. Δύο ἀμερῆ οὐχ ἅψεται ἀλλήλων.
Εἰ γὰρ δυνατόν, δύο ἀμερῆ τὰ ΑΒ ἁπτέσθωσαν ἀλλήλων. ἁπτόμενα δὲ ἦν, ὧν τὰ πέρατα ἐν τῷ αὐτῷ· τῶν δύο ἄρα ἀμερῶν πέρατα ἔσται· οὐκ ἄρα ἦν ἀμερῆ τὰ ΑΒ.
2. Δύο ἀμερῆ συνεχὲς οὐδὲν ποιήσει.
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω δύο ἀμερῆ τὰ ΑΒ καὶ ποιείτω συνεχὲς τὸ ἐξ ἀμφοῖν. ἀλλὰ πάντα τὰ συνεχῆ ἅπτεται πρότερον· τὰ ἄρα ΑΒ ἅπτεται ἀλλήλων ἀμερῆ ὄντα, ὅπερ ἀδύνατον.
Ἄλλως. Εἰ ἔστι συνεχὲς ἐκ τῶν ΑΒ ἀμερῶν, ἢ ὅλον ὅλου ἅπτεται τὸ Α τοῦ Β ἢ ὅλον μέρους ἢ μέρει μέρους. ἀλλ’ εἰ μὲν ὅλον μέρους ἢ μέρει μέρους, οὐκ ἔσται ἀμερῆ τὰ ΑΒ, εἰ δὲ ὅλον ὅλου ἅπτοιτο, οὐκ ἔσται συνεχές, ἀλλ’ ἐφαρμόσει μόνον· εἰ οὖν οὐκ ἦν τὸ Α συνεχὲς μετὰ τοῦ Β, οὐδὲ τὸ Β μετὰ τοῦ Α ἔσται συνεχὲς ὅλον ὅλου ἁπτόμενον.
3. Τῶν ἐν συνεχεῖ ἀμερῶν τὸ μεταξὺ συνεχές.
Ἔστω γὰρ δύο ἀμερῆ τὰ ΑΒ· λέγω ὅτι τὸ μεταξὺ τῶν ΑΒ συνεχές ἐστιν. εἰ δὲ μή, ἅπτεται τὸ Α τοῦ Β ἀμερὲς ἀμεροῦς, ὅπερ ἀδύνατον· τὸ μεταξὺ ἄρα αὐτῶν συνεχές ἐστιν.
4. Δύο ἀμερῆ ἐφεξῆς ἀλλήλοις οὐκ ἔστιν.
Ἔστω γὰρ δύο ἀμερῆ τὰ ΑΒ· λέγω ὅτι οὐκ ἔσται ἐφεξῆς τὸ Α τῷ Β. ἐπεὶ γὰρ δέδεικται, ὅτι δύο ἀμερῶν τὸ μεταξὺ συνεχές ἐστιν, ἔστω δὴ τὸ μεταξὺ αὐτῶν τὸ ΓΔ καὶ διῃρήσθω κατὰ τὸ Ε· τὸ Ε ἄρα ἀμερές ἐστι μεταξὺ ὂν τῶν ΑΒ· ἐφεξῆς δὲ ἦν, ὧν μηδὲν μεταξὺ ὁμογενές· οὐκ ἄρα τὸ Α καὶ τὸ Β ἐφεξῆς ἐστιν.
5. Πᾶν συνεχὲς διαιρετόν ἐστιν εἰς ἀεὶ διαιρετά.
Ἔστω γὰρ συνεχὲς τὸ ΑΒ· λέγω ὅτι διαιρεῖται τὸ ΑΒ εἰς ἀεὶ διαιρετά. διῃρήσθω γὰρ εἰς τὰ ΑΕ ΕΒ. ταῦτα δὴ ἤτοι ἀδιαίρετά ἐστιν ἢ ἀεὶ διαιρετά. εἰ μὲν οὖν ἀδιαίρετα, ἔσται ἐξ ἀμερῶν τὸ συνεχές, ὅπερ ἀδύνατον· εἰ δὲ διαιρετά, πάλιν διῃρήσθω εἰς τὰ μέρη. καὶ ταῦτα πάλιν, εἰ μὲν ἀδιαίρετα, ἔσται ἀμερῆ συνεχῆ ἀλλήλοις· εἰ δὲ διαιρετά, διῃρήσθω καὶ ταῦτα, καὶ τοῦτο εἰς ἄπειρον. πᾶν ἄρα τὸ συνεχὲς διαιρετὸν εἰς ἀεὶ διαιρετά.
6. Ἐὰν ᾖ τι μέγεθος ἐξ ἀμερῶν, ἔσται καὶ ἡ ἐπ’ αὐτοῦ κίνησις ἐξ ἀμερῶν.
.png)
Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ μέγεθος ἐξ ἀμερῶν τοῦ Α καὶ τοῦ Β καὶ τοῦ Γ· λέγω ὅτι καὶ ἡ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ μεγέθους κίνησις ἐξ ἀμερῶν ἔσται. εἰλήφθω γὰρ ἡ ἐπ’ αὐτοῦ κίνησις καὶ ἔστω ἡ ΔΕΖ, κινούμενον δὲ ἔστω τὸ Θ καὶ κινείσθω κατὰ μὲν τὸ Δ ἐπὶ τοῦ Α, κατὰ δὲ τὸ Ε ἐπὶ τοῦ Β, κατὰ δὲ τὸ Ζ ἐπὶ τοῦ Γ. τὸ δὴ Δ ἢ ἀμερές ἐστιν ἢ μεριστόν. ἔστω, εἰ δυνατόν, μεριστὸν καὶ διῃρήσθω δίχα. πρότερον ἄρα τὸ ἥμισυ κινεῖται τὸ Θ ἢ τὸ ὅλον· κινεῖται δὲ ἐπὶ τοῦ Α· μεριστὸν ἄρα καὶ τὸ Α, ἀλλ’ ἦν ἀμερές· καὶ τὸ Δ ἄρα ἀμερές. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ Ε καὶ τὸ Ζ ἀμερῆ ἐστιν.
7. Ἐὰν ᾖ κίνησις ἐξ ἀμερῶν, καὶ ὁ τῆς κινήσεως χρόνος ἐξ ἀμερῶν ἔσται.
Ἔστω γὰρ κίνησις ἡ ΑΒΓ ἐξ ἀμερῶν τῶν Α καὶ Β καὶ Γ, χρόνος δὲ τῆς ΑΒΓ κινήσεως ὁ ΔΕΖ· λέγω ὅτι καὶ αὐτὸς ἐξ ἀμερῶν ἐστιν. εἰλήφθω γάρ τι κινούμενον τὸ Θ καὶ κινείσθω κατὰ μὲν τὸ Α ἐν τῷ Δ, κατὰ δὲ τὸ Β ἐν τῷ Ε, κατὰ δὲ τὸ Γ ἐν τῷ Ζ· λέγω ὅτι τὰ ΔΕΖ ἀμερῆ ἐστιν. εἰ γὰρ διαιρετόν ἐστι τὸ Δ, ἐν ᾧ φέρεται τὴν Α, διῃρήσθω. ἐν τῷ ἡμίσει ἄρα χρόνῳ μέρος κινεῖται καὶ οὐχ ὅλην τὴν Α· διαιρετὴ ἄρα καὶ ἡ Α κίνησις, ἀλλ’ ἦν ἀδιαίρετος· 〈καὶ ὁ Δ ἄρα ἀδιαίρετος.〉 ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ὁ Ε καὶ ὁ Ζ ἀδιαίρετός ἐστιν.
8. Τῶν ἀνισοταχῶς κινουμένων τὸ θᾶττον ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ μεῖζον κινεῖται.
.png)
Ἔστω γὰρ ἀνισοταχῶς κινούμενα, θᾶττον μὲν τὸ Α, βραδύτερον δὲ τὸ Β, καὶ κινείσθω τὸ Α ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Δ ἐν τῷ ΖΗ χρόνῳ. ἐπεὶ οὖν τὸ Β βραδύτερόν ἐστιν, ἐν τῷ ΖΗ χρόνῳ οὔπω ἥξει ἀπὸ τοῦ Γ εἰς τὸ Δ. θᾶττον γάρ ἐστι τὸ πρότερον εἰς τὸ τέλος ἐρχόμενον, βραδύτερον δὲ τὸ ὕστερον. κινείσθω οὖν ἐν τῷ ΖΗ χρόνῳ εἰς τὸ Ε ἐληλυθός· ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα χρόνῳ τὸ Α τὴν ΓΔ κεκίνηται καὶ τὸ Β τὴν ΓΕ, μείζων δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΓΕ· τὸ ἄρα θᾶττον ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ μεῖζον κινεῖται.
9. Ἐὰν ῃ κινούμενα ἀνισοταχῆ, ληφθήσονταί τινες χρόνοι, πλείων μὲν τοῦ βραδυτέρου, ἐλάττων δὲ τοῦ θάττονος, ἐν οἷς τὸ μὲν θᾶττον μείζονα κινεῖται, τὸ δὲ βραδύτερον ἐλάττονα.
.png)
Ἔστω γὰρ ἀνισοταχῆ τὰ ΑΒ καὶ τὸ μὲν Α θᾶττον, τὸ δὲ Β βραδύτερον. ἐπεὶ οὖν τὸ θᾶττον ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ μείζονα κινεῖται, ἐν τῷ ΖΗ χρόνῳ τὸ μὲν Α τὴν ΓΔ κεκινήσθω, τὸ δὲ Β τὴν ΓΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ Α ἐν ὅλῳ τῷ ΖΗ χρόνῳ κεκίνηται τὴν ΓΔ, τὴν ΓΘ ἄρα ἐν ἐλάττονι κεκινημένον ἔσται τοῦ ΖΗ. εἰλήφθω οὖν ὁ χρόνος ἐλάττων καὶ ἔστω τὸ ΖΚ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν Α ἐν τῷ ΖΚ κεκίνηται τὴν ΓΘ, τὸ δὲ Β ἐν τῷ ΖΗ τὴν ΓΕ, μείζων 〈δὲ〉 ἡ ΓΘ τῆς ΓΕ καὶ πλείων ὁ ΖΗ χρόνος τοῦ ΖΚ, ἐλήφθησαν ἄρα χρόνοι τινές, πλείων μὲν ὁ ΖΗ τοῦ Β, ἐλάττων δὲ ὁ ΖΚ τοῦ Α, ἐν οἷς τὸ μὲν Α κεκίνηται μείζονα τὴν ΓΘ, τὸ δὲ Β ἐλάττονα τὴν ΓΕ, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
10. Τῶν ἀνισοταχῶς κινουμένων τὸ θᾶττον ἐν ἐλάττονι χρόνῳ δίεισι τὸ ἴσον.
.png)
Ἔστω γὰρ ἀνισοταχῶς κινούμενα καὶ θᾶττον τὸ Α τοῦ Β. κεκινήσθω δὲ τὸ Α ἐν τῷ ΖΗ χρόνῳ τὴν ΓΔ, τὸ δὲ Β ἐν τῷ αὐτῷ ἐλάττονα τὴν ΓΕ. ἐπεὶ οὖν τὸ Α ἐν παντὶ τῷ ΖΗ τὴν ΓΔ κινεῖται, τὴν ἐλάττονα τὴν ΓΕ ἐν ἐλάττονι κινηθήσεται. κινείσθω ἐν τῷ ΖΚ. τὸ δὲ Β τὴν ΓΕ ἐν τῷ ΖΗ ἐκινεῖτο, πλείων δὲ ὁ ΖΗ χρόνος τοῦ ΖΚ· τὴν ἄρα ἴσην τὴν ΓΕ τὸ μὲν Α ἐν ἐλάττονι χρόνῳ κινεῖται, τὸ δὲ Β ἐν πλείονι.
Ἄλλως τὸ αὐτό. Ἔστω τὸ Α τοῦ Β θᾶττον, καὶ κινείσθω τὸ Β τὴν ΓΕ ἐν τῷ ΖΗ χρόνῳ. τὸ ἄρα Α ἢ ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ κινεῖται τὴν ΓΕ ἢ ἐν πλείονι ἢ ἐν ἐλάττονι. ἀλλ’ εἰ μὲν ἐν τῷ αὐτῷ, ἔσται ἰσοταχές· εἰ δ’ ἐν πλείονι, ἔσται βραδύτερον, ὑπόκειται δὲ θᾶττον· ἐν ἐλάττονι ἄρα χρόνῳ κινηθήσεται τὴν ΓΕ τὸ Α, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
11. Πᾶς χρόνος ἐπ’ ἄπειρον διαιρεῖται καὶ πᾶν μέγεθος καὶ πᾶσα κίνησις.
.png)
Ἔστω γὰρ τὸ Α τοῦ Β θᾶττον, καὶ κινείσθω τὸ Β ἐν τῷ ΖΗ χρόνῳ τὴν ΓΔ. ἐπεὶ οὖν δέδεικται τοῦτο, ὅτι τὸ θᾶττον ἐν ἐλάττονι χρόνῳ δίεισι τὸ ἴσον, τὴν ΓΔ τὸ Α ἐν τῷ ἐλάττονι τοῦ ΖΗ δίεισι, καὶ ἔσται ὁ ΖΗ χρόνος διαιρετός. διῃρήσθω κατὰ τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ τὸ Α ἐν τῷ ΖΘ δίεισι 〈τὴν ΓΔ, ἐν τῷ αὐτῷ τὸ Β τὴν ἐλάττονα δίεισι〉 — δέδεικται γὰρ καὶ τοῦτο, ὅτι ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ μεῖζον κινεῖται τὸ θᾶττον καὶ τὸ βραδύτερον ἔλαττον —· διαιρήσει ἄρα τὴν ΓΔ. διαιρείτω κατὰ τὸ Κ. πάλιν ἐπεὶ τὸ Β τὴν ΓΚ δίεισιν ἐν τῷ ΖΘ χρόνῳ, τὸ Α τὴν αὐτὴν ἐν ἐλάττονι χρόνῳ διελεύσεται, ὡς δέδεικται· διαιρήσει ἄρα τὸν ΖΘ χρόνον. καὶ οὕτως ἀεὶ κατὰ μὲν τὸ θᾶττον ὁ χρόνος δειχθήσεται διαιρούμενος διὰ τὸ δεδειγμένον ἐν τῷ πρὸ τούτου, κατὰ δὲ τὸ βραδύτερον τὸ μέγεθος διὰ τὸ ὄγδοον θεώρημα. ἀλλὰ μὴν εἰ ταῦτα διαιρετά, καὶ ἡ κίνησις εἰς ἄπειρον διαιρεῖται. δέδεικται γὰρ ὅτι, εἰ ἡ κίνησις ἐξ ἀμερῶν, καὶ ὁ χρόνος· εἰ οὖν εἰς ἄπειρον οὗτος διαιρεῖται, καὶ ἡ κίνησις ὡσαύτως, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
12. Ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ τὸ ἄπειρον κινεῖσθαι οὐκ ἔστιν.
.png)
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ τῷ ΓΔ κινείσθω τὸ Α μέγεθος ἄπειρον τὸ ΖΕ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΓΔ χρόνος δίχα κατὰ τὸ Κ. ἐν τῷ ΓΚ ἄρα χρόνῳ κινεῖται τὸ Α ἤτοι ὅλον τὸ ΖΕ ἢ μέρος αὐτοῦ. ἀλλὰ μὴν ὅλον ἀδύνατον, ἐν γὰρ τῷ ΓΔ τὸ ὅλον ἐκινεῖτο· μέρος ἄρα αὐτοῦ κινείσθω τὸ ΘΛ. πάλιν ἐπεὶ ἐν τῷ ΚΔ κινεῖταί τι τοῦ ΖΕ — οὐ γὰρ δὴ τὸ ὅλον ὡς δέδεικται —, κινείσθω τὸ ΛΜ. τὸ ἄρα ΘΜ ἐν τῷ ΓΔ κεκίνηται, ἐν πεπερασμένῳ ἄρα καὶ πεπερασμένον, καὶ δῆλον ὡς ἀδύνατον καὶ τὸ ἄπειρον ἐν τῷ ΓΔ κεκινῆσθαι, τὸ γὰρ ὅλον καὶ τὸ μέρος οὐ δυνατὸν ἐν τῷ αὐτῷ κινεῖσθαι χρόνῳ.
Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ὡς τὸ ὅλον μέγεθος πρὸς τὸ εαυτοῦ μέρος, οὕτως ὁ χρόνος τῆς τοῦ ὅλου κινήσεως πρὸς τὸν χρόνον τοῦ μέρους ἐν τοῖς ἰσοταχῶς κινουμένοις.
13. Πεπερασμένον μέγεθος οὐδὲν κινηθήσεται ἐν ἀπείρῳ χρόνῳ.
.png)
Ἔστω γὰρ κινούμενον τὸ Α, πεπερασμένον μέγεθος τὸ ΒΓ, χρόνος ἄπειρος τῆς κινήσεως ὁ ΔΖ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΒΓ μέγεθος δίχα. τὸ δὴ Α κινεῖται τὸ ἥμισυ τοῦ ΒΓ καὶ αὐτὸ ἢ ἐν ἀπείρῳ ἢ ἐν πεπερασμένῳ. κινείσθω πρότερον ἐν ἀπείρῳ. ἀλλὰ πᾶν τὸ συνεχῶς κινούμενον ἐν πλείονι κινεῖται τὸ ὅλον ἢ τὸ μέρος· τὸ ἄρα ΒΓ ἐν πλείονι τοῦ ἀπείρου κινηθήσεται, οὐκ ἄρα ἐν ἀπείρῳ· ἐν πεπερασμένῳ ἄρα. εἰλήφθω πεπερασμένος χρόνος ὁ ΘΛ. πάλιν τὸ λοιπὸν ἥμισυ τοῦ ΒΓ κινεῖται τὸ Α, καὶ οὐκ ἐν ἀπείρῳ χρόνῳ, ἀλλ’ ἐν πεπερασμένῳ διὰ τὰ αὐτά. κείσθω οὖν πεπερασμένος χρόνος ὁ ΛΜ. ἐν τῷ ΘΜ ἄρα κινεῖται τὸ ΒΓ, οὐκ ἄρα ἐν τῷ ἀπείρῳ χρόνῳ, ἀλλ’ ἐν τῷ πεπερασμένῳ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
14. Δοθέντος ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ τοῦ θάττονος πρὸς τὸ βραδύτερον δεῖξαι, ὅτι ἄτομοι γραμμαὶ οὐκ εἰσίν.
.png)
Ἔστω θᾶττον τὸ Α τοῦ Β ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, καὶ εἰλήφθωσαν [αἱ] τρεῖς ἄτομοι γραμμαὶ αἱ ΓΔΕ, δύο δὲ αἱ ΖΘ. τὸ μὲν Α ἄρα δίεισι τὰς ΓΔΕ, τὸ δὲ Β τὰς ΖΘ ἐν ἴσῳ χρόνῳ, ἡμιόλιος γὰρ ὁ λόγος τοῦ τάχους πρὸς τὸ τάχος. ἔστω [γὰρ] χρόνος ὁ ΚΛΜ. ἐπεὶ οὖν δέδεικται ὅτι, εἰ τὸ μέγεθος ἐξ ἀμερῶν, καὶ ἡ κίνησις, καὶ εἰ ἡ κίνησις, καὶ ὁ χρόνος, εἰλήφθω καὶ τὰ μέρη τοῦ χρόνου τὰ ΚΛΜ. τὸ Α ἄρα ἐν τοῖς ΚΛΜ δίεισι τὰ ΓΔΕ, ἀλλὰ καὶ τὸ Β ἐν τοῖς αὐτοῖς δίεισι τὰ ΖΘ· διαιρεθήσεται ἄρα ὁ ΚΛΜ χρόνος εἰς τὴν τοῦ Ζ καὶ τοῦ Θ κίνησιν. διῃρήσθω· ἔσται ἄρα τὸ Λ ἄτομον διῃρημένον, ὅπερ ἀδύνατον. καὶ ἐπεὶ τὸ θᾶττον ἐν ὅλῳ τῷ ΚΛΜ δίεισι τὸ ΓΔΕ, ἐν τῷ ἡμίσει δίεισι τὸ ἥμισυ· διαιρεθήσεται ἄρα τὸ Δ, ἀλλ’ ἦν ἄτομον· ὅπερ ἀδύνατον.
15. Τὸ νῦν ταὐτόν ἐστιν ἐν τῷ παρελθόντι καὶ μέλλοντι χρόνῳ.
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἕτερον οἷον τὸ Α καὶ τὸ Β. ταῦτα δὴ ἐφεξῆς μὲν ἀλλήλοις οὐκ ἔστιν, ὡς δέδεικται πρότερον· .png){kind=small}
εἰ δὲ χωρὶς ἑκάτερον, μεταξὺ ἔσται αὐτῶν χρόνος διαιρετὸς εἰς ἄπειρον, ὡς δέδεικται. διῃρήσθω οὖν ὁ ΑΒ χρόνος κατὰ τὸ Γ. εἰ δὴ τὸ Α πέρας ἦν παντὸς τοῦ παρελθόντος καὶ τὸ Β ἀρχὴ παντὸς τοῦ μέλλοντος, οὐκ ἔσται ἐν τῷ μεταξὺ αὐτῶν παρελθὼν καὶ μέλλων· ἀλλὰ μὴν διῄρηται ὁ ΑΒ χρόνος κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μὲν αὐτοῦ παρελθόν ἐστι, τὸ δὲ μέλλον, ὅπερ ἀδύνατον· ταὐτὸν ἄρα τὸ νῦν ἐστιν ἐν τῷ παρελθόντι καὶ μέλλοντι.
16. Τὸ νῦν ἀμερές ἐστιν.
Εἰ γάρ ἐστι τὸ νῦν ταὐτὸν ἐν τῷ παρελθόντι καὶ μέλλοντι, ἀμερές ἐστιν· εἰ γὰρ διαιρετόν, τὰ αὐτὰ συμβήσεται, καὶ ἔσται τι τοῦ παρελθόντος ἐν τῷ μέλλοντι, καὶ τοῦ μέλλοντος ἐν τῷ παρεληλυθότι, ὅπερ ἀδύνατον· ἀμερὲς ἄρα τὸ νῦν.
17. Πᾶν τὸ κινούμενον ἐν χρόνῳ κινεῖται.
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐν τῷ νῦν κινείσθω τι, καὶ τὸ μὲν θᾶττον, τὸ δὲ βραδύτερον· καὶ πρότερον τὸ βραδύτερον κινείσθω τὴν ΑΒ. τὸ δὴ θᾶττον, εἰ κινοῖτο καὶ αὐτὸ τὴν ΑΒ, ἐν ἐλάττονι κινηθήσεται· διαιρεθήσεται ἄρα τὸ νῦν, ἀλλ’ ἦν ἀδιαίρετον, ὡς δέδεικται· οὐκ ἄρα ἐν τῷ νῦν κινεῖταί τι, πᾶν ἄρα τὸ κινούμενον ἐν χρόνῳ κινεῖται.
〈Ἄλλως.〉 Ἀλλὰ δὴ τὸ θᾶττον ἐν τῷ νῦν κινείσθω. ἢ οὖν ἀμερῆ κινεῖται ἢ μεριστήν· ἀλλὰ δέδεικται, ὅτι ἄτομος γραμμὴ οὐκ ἔστι· μεριστὴν ἄρα κινείσθω τὴν ΑΒ. διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ. τὸ θᾶττον ἄρα ὅλην τὴν ΑΒ κινηθὲν ἐν τῷ νῦν τὴν ΑΓ ἐν ἐλάττονι κινεῖται· μεριστὸν ἄρα καὶ τὸ νῦν, ὅπερ ἀδύνατον.
18. Πᾶν τὸ ἠρεμοῦν ἐν χρόνῳ ἠρεμεῖ.
Εἰ γὰρ ἐν τῷ νῦν καὶ μὴ ἐν χρόνῳ ἠρεμεῖ, καὶ κινεῖται ἐν τῷ νῦν· ἀλλὰ δέδεικται τοῦτο ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἠρεμεῖ ἐν τῷ νῦν.
Ἄλλως. Εἰ τὸ νῦν ταὐτὸν ἐν τῷ παρελθόντι καὶ μέλλοντι, ὡς δέδεικται, καὶ δυνατὸν ἠρεμεῖν ἐν τῷ παρελθόντι καὶ κινεῖσθαι ἐν τῷ μέλλοντι, ἐν τῷ μεταξὺ αὐτῶν οὐκ ἔστιν οὔτε ἠρεμεῖν οὔτε κινεῖσθαι· εἰ γὰρ ἔσται, ἐν τῷ αὐτῷ νῦν ἠρεμήσει καὶ κινήσεται, ὅπερ ἀδύνατον.
19. Πᾶν τὸ κινούμενον μεριστόν ἐστιν.
.png)
Ἔστω γάρ τι κινούμενον ἐκ τοῦ Α εἰς τὸ Β. ἢ οὖν ἐν τῷ Α μόνον ἐστὶν ἢ ἐν τῷ Β ἢ ἐν ἀμφοτέροις ἢ ἐν οὐδετέρῳ ἢ τὸ μὲν αὐτοῦ ἐν τῷ Α, τὸ δὲ ἐν τῷ Β. ἀλλ’ εἰ μὲν ἐν τῷ Α, οὔπω κινεῖται· εἰ δὲ ἐν τῷ Β, οὐκέτι κινεῖται· εἰ δ’ ἐν ἀμφοτέροις, καὶ οὔπω κινεῖται καὶ οὐκέτι κινεῖται· εἰ δ’ ἐν οὐδετέρῳ, οὐκ ἔσται ἐκ τοῦ Α εἰς τὸ Β ἡ κίνησις. [οὐδὲ μεταξὺ αὐτῶν] ἀνάγκη ἄρα τὸ μὲν αὐτοῦ ἐν τῷ Α εἶναι, τὸ δὲ ἐν τῷ Β· διαιρετὸν ἄρα τὸ κινούμενόν ἐστιν.
20. Ἐὰν κινήσεως ὁποιασοῦν τὰ μέρη μερῶν ᾖ συνεχοῦς τινος, καὶ ἡ ὅλη τοῦ ὅλου κίνησις ἔσται.
.png)
Ἔστω τοῦ ΑΒ κίνησις ἡ ΔΕ, τοῦ δὲ ΒΓ ἡ ΕΖ. λέγω ὅτι καὶ ὅλη ἡ ΔΖ τοῦ ΑΓ ὅλου κίνησις ἔσται. ἀνάγκη γὰρ τὴν ΔΖ κίνησιν ἢ τοῦ ΑΓ εἶναι ἢ τῶν μερῶν τοῦ ΑΓ ἢ ἄλλου τινός· κίνησις γὰρ οὖσα τινός ἐστι κινουμένου. ἀλλὰ μὴν οὔτε τῶν μερῶν ἐστι τοῦ ΑΓ κίνησις ἡ ὅλη· τῶν γὰρ μερῶν τὰ ταύτης μέρη κίνησις, ἀλλ’ οὐχ ἡ ὅλη· οὔτ’ ἄλλου τινός· εἰ γὰρ ὅλη ἡ ΔΖ ἄλλου τινός ἐστι κίνησις, καὶ τὰ μέρη τῶν ἐκείνου μερῶν ἔσονται κινήσεις, ἀλλ’ ἦσαν τῶν τοῦ ΑΓ μερῶν· ἀδύνατον δὲ μίαν κατὰ ἀριθμὸν κίνησιν ἐν πολλοῖς ὑποκειμένοις εἶναι. τοῦ ΑΓ ἄρα ἐστὶν ἡ [τοῦ] ΔΖ κίνησις, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
21. Πᾶν τὸ μεταβεβληκὸς ὅτε πρῶτον μεταβέβληκεν, ἐν τούτῳ ἐστὶν εἰς ὃ μεταβέβληκεν.
.png)
Ἔστω γὰρ μεταβεβληκὸς τὸ Α ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ. λέγω ὅτι ἐν τῷ Γ τὸ Α ἐστίν. ἢ γὰρ ἐν τῷ Β ἐστὶν ἢ ἐν τῷ Γ ἢ ἐν ἄλλῳ τινί. ὅτι μὲν οὖν ἐν τῷ Β οὐκ ἔστι, δῆλον· ἐκεῖνο γὰρ ἀπολέλοιπεν. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ἐν ἄλλῳ τινί. ἔστω γὰρ ἐν τῷ Δ. οὐκοῦν ἀνάγκη πάλιν αὐτὸ μεταβάλλειν εἰς τὸ Γ (οὐ γὰρ ἦν ἀπὸ τοῦ Β εἰς τὸ Δ ἡ μεταβολή), ὅπερ ἀδύνατον· οὐ γὰρ ἐνδέχεται εἰς ταὐτὸ μεταβάλλειν, εἰς ὃ μεταβέβληκεν· ἐν τῷ Γ ἄρα ἐστὶ τὸ εἰς τὸ Γ μεταβεβληκός.
22. Πᾶν τὸ μεταβεβληκὸς ἐν ἀδιαιρέτῳ μεταβέβληκε πρώτῳ.
Ἔστω τὸ Α μεταβεβληκὸς ἐν τῷ ΒΓ πρώτῳ· λέγω ὅτι ἁδιαίρετόν ἐστι τὸ ΒΓ. εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ. οὐκοῦν ἢ ἐν ἀμφοτέροις μεταβέβληκε τοῖς ΒΔ, ΔΓ ἢ ἐν ἀμφοτέροις μετέβαλλεν ἢ ἐν μὲν τῷ ἑτέρῳ 〈μεταβέβληκεν, ἐν δὲ τῷ ἑτέρῳ〉 μετέβαλλεν. ἀλλ’ εἰ μὲν ἐν ἀμφοτέροις μεταβέβληκε, καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ· οὐκ ἄρα ἐν [τῷ] πρώτῳ τῷ ΒΓ μεταβέβληκεν, ἀλλ’ ἐν τῷ ΒΔ προτέρῳ. εἰ δ’ ἐν ἀμφοτέροις μετέβαλλε, καὶ ἐν τῷ ὅλῳ· ὑπόκειται δὲ μεταβεβληκός. 〈. . . . . . . .〉 εἰ δὲ ἐν τῷ ἑτέρῳ μόνῳ, οὐκέτι ἔσται ἐν [τῷ] πρώτῳ τῷ ΒΓ, ἀλλ’ ἐν τῷ μέρει αὐτοῦ· οὐκ ἄρα διαιρετόν ἐστι τὸ ΒΓ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
23. Οὐδεμία μεταβολὴ ἀρχὴν ἔχει μεταβολῆς.
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῆς ΑΒ μεταβολῆς ἀρχὴ ἡ ΑΓ μεταβολή. εἰ μὲν οὖν ἀμερὲς τὸ ΑΓ, ἔσται ἐχόμενον ἀμερὲς ἀμεροῦς. εἰ δὲ διαιρετόν, διῃρήσθω εἰς τὰ ΑΔ, ΔΓ. εἰ μὲν .png){kind=small}
τοίνυν ἐν ἕκατέρῳ τούτων μετέβαλλε, καὶ ἐν τῷ ὅλῳ μετέβαλλε· κεῖται δὲ μεταβεβληκὸς κατὰ τὸ ὅλον. εἰ δὲ ἐν τῷ ἑτέρῳ μετέβαλλεν, ἐν δὲ τῷ ἑτέρῳ μεταβέβληκεν, οὐκέτι ἐν πρώτῳ τῷ ὅλῳ μεταβέβληκεν. εἰ δὲ ἐν ἀμφοτέροις μεταβέβληκε, πρὸ τοῦ ΑΓ ἐν τῷ ΑΔ μεταβεβληκός ἐστιν· οὐκ ἄρα ἔστι λαβεῖν ἀρχὴν μεταβολῆς.
24. Ἐὰν ᾖ κατά τι ποσὸν ἡ μεταβολή, τὸ πρῶτον ἐπ’ αὐτοῦ λαβεῖν οὐκ ἔσται.
.png)
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω κατὰ τὸ ΑΒ μέγεθος μεταβολή. λέγω ὅτι τὸ πρῶτον ἐπὶ τοῦ ΑΒ λαβεῖν οὐκ ἔστιν. εἰλήφθω γὰρ τὸ ΑΓ τυχόν, εἰ κατὰ τοῦτο πρῶτον μεταβέβληκεν. εἰ μὲν οὖν ἀδιαίρετον τὸ ΑΓ, ἔσται ἀμερὲς ἀμεροῦς ἐχόμενον· εἰ δὲ διαιρετόν, ἔσται τι τοῦ ΑΓ πρότερον, εἰς ὃ μεταβέβληκε, κἀκείνου ἄλλο καὶ τοῦτο εἰς ἄπειρον. οὐκ ἄρα ἔστι τοῦ μεγέθους, οὗ πρῶτόν τι μεταβέβληκεν.
25. Ἐὰν ἡστινοσοῦν μεταβολῆς ὁ πρῶτος χρόνος ληφθῇ, ἐν ὁτῳοῦν μορίῳ τοῦ χρόνου καὶ τῆς μεταβολῆς μόριον ἔσται.
.png)
Εἰλήφθω γὰρ πρῶτος χρόνος ὁ ΧΡ τῆς ΑΒ μεταβολῆς. ἐπεὶ οὖν πᾶς χρόνος εἰς ἄπειρον διαιρετός, διῃρήσθω κατὰ τὸ Κ. ἢ οὖν ἐν ἀμφοτέροις ἐστὶν ἡ μεταβολὴ τοῖς ΧΚ ΚΡ ἢ ἐν οὐδετέρῳ ἢ ἐν τῷ ἑτέρῳ. ἀλλ’ εἰ μὲν ἐν μηδετέρῳ, οὐδ’ ἐν τῷ ὅλῳ ἔσται χρόνῳ· εἰ δ’ ἐν τῷ ἑτέρῳ, οὐκ ἂν ὁ πρῶτος εἴη χρόνος τῆς μεταβολῆς· ἐν ἀμφοτέροις ἄρα τοῖς ΧΚ ΚΡ ἡ μεταβολή ἐστιν, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
26. Πᾶν τὸ κινούμενον κεκίνηται πρότερον.
Κινείσθω γὰρ ἐν [τῷ] πρώτῳ χρόνῳ τῷ ΧΡ τὸ ΑΒ μέγεθος, καὶ διῃρήσθω ὁ πρῶτος χρόνος κατὰ τὸ Κ. ἐν τῷ ΧΚ ἄρα
κεκίνηταί τι τοῦ ΑΒ μεγέθους, καὶ ἐν μὲν ὅλῳ τῷ ΧΡ ἐκινεῖτο, ἐν δὲ τῷ ΧΚ κεκίνηται· τὸ γὰρ πέρας τοῦ ΧΚ χρόνου τὸ νῦν ἐστιν, ἐν δὲ τούτῳ κεκινῆσθαι μὲν δυνατόν, κινεῖσθαι δὲ οὔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν καὶ τὸν ΧΚ χρόνον διελόντες, ὅτι πρὸ τοῦ κινεῖσθαι τὸ κεκινῆσθαι ὑπάρχει· τὸ γὰρ νῦν ἐν παντὶ χρόνῳ, ὥστε καὶ τὸ κεκινῆσθαι.
27. Πᾶν τὸ κεκινημένον ἐκινεῖτο πρότερον.
Ἔστω γάρ τι μεταβεβληκὸς ἐκ τοῦ Α εἰς τὸ Β. ἢ οὖν ἐν χρόνῳ μεταβέβληκεν ἢ ἐν τῷ νῦν. ἀλλὰ μὴν εἰ ἐν τῷ νῦν, ἅμα ἂν εἴη κατὰ τὸ αὐτὸ νῦν καὶ ἐν τῷ Α καὶ ἐν τῷ Β· εἰ γὰρ καθ’ ἕτερον μὲν ἐν τῷ Α ἐστί, καθ’ ἕτερον δὲ ἐν τῷ Β, ἔσται μεταξὺ χρόνος· οὐ γὰρ ἔχεται ἀμερὲς ἀμεροῦς· ἐν χρόνῳ ἄρα μεταβέβληκεν ἀπὸ τοῦ Α εἰς τὸ Β. ἀλλὰ πᾶς χρόνος διαιρετός, ὥστε καὶ ἐν τῷ ἡμίσει μεταβάλλειν καὶ ἐν τῷ ἐκείνου ἡμίσει, καὶ τοῦτο εἰς ἄπειρον· πᾶν ἄρα τὸ κεκινημένον ἐκινεῖτο πρότερον, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
28. Ἐὰν τὸ κινούμενον ἄπειρον ᾖ, οὐ δίεισι τὸ πεπερασμένον μέγεθος ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ.
.png)
Ἔστω κινούμενον ἄπειρον τὸ Α, μέγεθος δὲ πεπερασμένον, ὃ δίεισι, τὸ Β, χρόνος δὲ πεπερασμένος τὸ Γ. εἰ οὖν τὸ Α παρὰ τὸ Β κινεῖται, δῆλον ὅτι καὶ τὸ Β παρὰ τὸ Α. ἐπεὶ οὖν τὸ Α ἄπειρον, τὸ δὲ Β πεπερασμένον, ἔσται τὸ πεπερασμένον κινούμενον διὰ τοῦ ἀπείρου ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ, ὅπερ ἀδύνατον, [ὅτε γὰρ τὸ Α διὰ τοῦ Β κινεῖται, καὶ τὸ Β διὰ τοῦ Α· ἀλλὰ τὸ Α διὰ τοῦ Β ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ κινεῖται, ὅπερ ἀδύνατον·] ὡς δέδεικται διὰ τοῦ δωδεκάτου θεωρήματος.
29. Ἐὰν ᾖ τὸ κινούμενον ἄπειρον, οὐ δίεισι τὸ ἄπειρον μέγεθος ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ.
.png)
Ἔστω κινούμενον ἄπειρον τὸ Α, ἄπειρον δὲ μέγεθος τὸ Β, χρόνος δὲ πεπερασμένος τὸ Γ. εἰ οὖν τὸ Α ἄπειρον κινεῖται διὰ τοῦ Β ἀπείρου, καὶ διὰ τῶν μερῶν αὐτοῦ κινεῖται. εἰλήφθω μέρος τοῦ Β τὸ Δ. καὶ διὰ τοῦ Δ ἄρα κινηθήσεται. καὶ ἐπειδὴ ὁ Γ χρόνος πεπέρανται, καὶ ὁ τοῦ Δ πεπέρανται· εἰλήφθω ὁ Θ. τὸ Α ἄρα ἄπειρον ὂν δίεισι διὰ τοῦ Δ πεπερασμένου μεγέθους ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ τῷ Θ, ὅπερ ἀδύνατον, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου δέδεικται. οὐκοῦν ἄπειρον διὰ τοῦ ἀπείρου οὐ κινεῖται ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι κίνησις ἄπειρος οὐκ ἔστιν, εἰ μὴ τῷ πολλάκις γίνεσθαι τὴν αὐτήν. ἤτοι γὰρ τὸ ἄπειρον διὰ τοῦ πεπερασμένου κινηθήσεται 〈ἢ τὸ πεπερασμένον διὰ τοῦ ἀπείρου〉 ἢ τὸ ἄπειρον διὰ τοῦ ἀπείρου, εἴπερ ἔσται κίνησις ἄπειρος· ταῦτα δὲ πάντα ἀδύνατα· οὖκ ἄρα ἔστιν ἄπειρος κίνησις.
30. Πᾶν τὸ κατὰ τόπον κινούμενον ὅλον ἐν τῷ νῦν γίνεται κατὰ τὸν πρῶτον τόπον.
Εἰ γὰρ μὴ ἐν τῷ νῦν, ἀλλ’ ἐν χρόνῳ, γινέσθω ἐν τῷ ΑΒ χρόνῳ ἐν τῷ ἑαυτοῦ πρώτῳ τόπῳ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΑΒ χρόνος εἰς τὰ ΑΓ ΓΒ. πρότερον ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ ΓΒ· ἐν παντὶ δὲ τῷ ΑΒ ὲν τῷ πρώτῳ τόπῳ τὸ κινούμενόν ἐστι· τὸ δὲ πρότερον καὶ ὕστερον ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ὂν ἠρεμεῖ· τὸ οὖν κινούμενον ἠρεμεῖ, ὅπερ ἀδύνατον. ἐν τῷ νῦν οὖν ἐστι τὸ κινούμενον κατὰ τὸν πρῶτον τόπον.
31. Πᾶν τὸ ἀμερὲς ἐν ποσῷ ἀκίνητόν ἐστι καθ’ ἑαυτό.
Κινείσθω γὰρ τὸ Α, εἰ δυνατόν, ἀμερὲς ἐν ποσῷ ἀπὸ τοῦ .png){kind=small}
Β εἰς τὸ Γ. ἐπεὶ οὖν πᾶν τὸ κινούμενον ἐν χρόνῳ κινεῖται, καθ’ ὃν τὸ Α κινεῖται χρόνον ἢ ἐν τῷ Β ἐστὶν ἢ ἐν τῷ Γ ὅλον ἢ τὸ μὲν αὐτοῦ ἐν τῷ Β, τὸ δὲ ἐν τῷ Γ. ἀλλ’ εἰ μὲν ὅλον ἐν τῷ Β, οὔπω κινεῖται, αλλ’ ἠρεμεῖ· εἰ δ’ ὅλον ἐν τῷ Γ, ἤδη κεκίνηται καὶ οὐ κινεῖται· εἰ δὲ τὸ μὲν αὐτοῦ ἐν τῷ Β, τὸ δ’ ἐν τῷ Γ, μέρη ἕξει. οὐκ ἄρα τὸ ἀμερὲς κινεῖται, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Ἄλλως. Ἔστω τὸ Α ἀμερὲς καὶ κινείσθω διὰ τοῦ Β. ἐπεὶ οὖν πᾶν τὸ κινούμενον, πρὶν μεῖζον ἑαυτοῦ κινηθῇ, ἴσον ἑαυτοῦ ἢ ἔλαττον κινεῖται, καὶ τὸ Α ἄρα ὁμοίως κινηθήσεται. ἀλλ’ εἰ μὲν ἔλαττον ἑαυτοῦ κινεῖται, μέρη ἕξει· εἰ δὲ ἴσον, ἔσται τὸ Β ἐξ ἀμερῶν, ὅπερ ἀδύνατον, ὡς δέδεικται. οὐκ ἄρα κινεῖται τὸ ἀμερές.
Ἄλλως, ὅτι τὸ ἀμερὲς ἴσον ἑαυτῷ οὐ κινεῖται.
Εἰ γὰρ δυνατόν, κινείσθω, καὶ ἔστω τῆς κινήσεως χρόνος ὁ ΑΒ. ἐπεὶ οὖν πᾶς χρόνος διαιρετός, διῃρήσθω ὁ ΑΒ εἰς τὰ ΑΓ ΓΒ. ἐν τῷ ΑΓ ἄρα χρόνῳ ἔλαττον κινηθήσεται τὸ κινούμενον ἀμερές, ἀλλὰ μὴν ἐν τῷ ΑΒ ἴσον ἑαυτῷ ἐκινεῖτο· τὸ δὲ τῷ ἀμερεῖ ἴσον ἀμερές· ἔσται ἄρα τι ἀμεροῦς ἔλαττον, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τὸ ἀμερὲς ἴσον ἑαυτῷ κινηθήσεται.