Στοιχεία/1

Στοιχεῖα Συγγραφέας: Ευκλείδης μεταφράστηκε από συντάκτες της Βικιθήκης Στοιχεία 1

Στοιχεία 2→

Για το αντίστοιχο πρωτότυπο δείτε Στοιχεῖα α΄

Ο * δηλώνει σημεία αμφίβολης μετάφρασης.

Ορισμοί 23.

1. Σημείο είναι αυτό που δεν έχει τμήματα.

2. Και γραμμή αυτή που έχει μήκος και όχι πλάτος.

3. Τα άκρα μιας γραμμής είναι σημεία.

4. Ευθύγραμμο τμήμα^[1] είναι, όποια γραμμή βρίσκεται ομοιόμορφα πάνω στα σημεία της.

5. Και επιφάνεια είναι αυτό, που έχει μόνο μήκος και πλάτος.

6. Και τα άκρα μιας επιφάνειας είναι γραμμές.

7. Το επίπεδο είναι επιφάνεια, η οποία βρίσκεται ομοιόμορφα πάνω στις ευθείες της.

8. Επίπεδη γωνία είναι η κλίση δύο συνεπίπεδων γραμμών με κοινό σημείο^[2], που δε βρίσκονται αντικρυστά κατά μήκος μιας ευθείας.^[3]

9. Και όταν οι γραμμές που οριοθετούν τη γωνία είναι ευθείες, η γωνία ονομάζεται ευθύγραμμη.

10. Και όταν ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει τοποθετηθεί σε ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα με τέτοιο τρόπο, ώστε οι εφεξείς γωνίες να είναι ίσες μεταξύ τους, οι ίσες γωνίες είναι ορθές, το τοποθετημένο ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται κάθετος σε αυτό που τοποθετήθηκε.

11. Αμβλεία γωνία είναι αυτή που είναι μεγαλύτερη της ορθής.

12. Και οξεία αυτή που είναι μικρότερη της ορθής.

13. Όριο είναι αυτό στο οποίο τελειώνει κάτι.

14. Σχήμα είναι αυτό που συμπεριλαμβάνεται^[4] από κάποιο ή κάποια όρια.

15. Ο κύκλος είναι επίπεδο σχήμα που συμπεριλαμβάνεται από μια γραμμή (η οποία ονομάζεται περιφέρεια). Από ένα συγκεκριμένο σημείο που βρίσκεται εντός του σχήματος, όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν (την περιφέρεια του κύκλου) με αυτό είναι ίσα μεταξύ τους.

16. Και το συγκεκριμένο σημείο ονομάζεται κέντρο του κύκλου.

17. Και διάμετρος του κύκλου είναι κάθε ευθύγραμμο τμήμα, που διέρχεται από το κέντρο, και το οποίο ξεκινάει και καταλήγει στην περιφέρεια του κύκλου. Η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλο.

18. Και ημικύκλιο είναι το σχήμα που συμπεριλαμβάνεται από τη διάμετρο και από το κομμάτι της περιφέρειας που προέκυψε από την τομή^[5]. Ενώ κέντρο του ημικυκλίου είναι το ίδιο με του κύκλου.

19. Ευθύγραμμα σχήματα είναι αυτά που οριοθετούνται από ευθύγραμμα τμήματα, τα τρίπλευρα οριοθετούνται από τρία ευθύγραμμα τμήματα, και τα τετράπλευρα από τέσσερα, και τα πολύπλευρα οριοθετούνται από περισσότερα ή τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα.

20. Και από τα τρίπλευρα σχήματα το τρίγωνο το οποίο έχει τρεις ίσες πλευρές είναι ισόπλευρο, ενώ αυτό το οποίο έχει τις δύο μόνο πλευρές ίσες είναι ισοσκελές, και αυτό το οποίο έχει τις τρεις πλευρές άνισες σκαληνό.

21. Ακόμα από τα τρίπλευρα σχήματα το τρίγωνο το οποίο έχει ορθή γωνία είναι ορθογώνιο, ενώ αυτό το οποίο έχει αμβλεία γωνία αμβλυγώνιο, και αυτό το οποίο έχει και τις τρεις γωνίες οξείες οξυγώνιο.

22. Και από τα τετράπλευρα σχήματα τετράγωνο είναι αυτό που είναι και ισόπλευρο και ορθογώνιο, και ετερομήκες^[6] αυτό που είναι ορθογώνιο αλλά δεν είναι ισόπλευρο, και ρόμβος αυτό που είναι ισόπλευρο αλλά δεν είναι ορθογώνιο, και ρομβοειδές^[7] αυτό, που δεν είναι ούτε ισόπλευρο ούτε ορθογώνιο, και που έχει τις απέναντι πλευρές και απέναντι γωνίες ίσες μεταξύ τους· και ας ονομάζονται τα υπόλοιπα τετράπλευρα τραπέζια.

23. Παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα είναι τα συνεπίπεδα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία προεκτεινόμενα στο άπειρο, σε όλα τους τα τμήματα, δε συμπίπτουν μεταξύ τους πουθενά.

Αιτήματα 5.

1. Αιτείται να μπορεί να κατασκευαστεί ευθύγραμμο τμήμα από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο.

2. Και να μπορεί να προεκταθεί κατά τη συνέχεια του ευθύγραμμο τμήμα από ευθύγραμμο τμήμα.

3. Και να μπορεί να διαγραφθεί κύκλος για κάθε κέντρο και ακτίνα.

4. Και να ισούνται μεταξύ τους όλες οι ορθές γωνίες.

5. Και εάν σε δύο ευθύγραμμα τμήματα ένα ευθύγραμμο τμήμα σχηματίσει δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε αν τα δύο ευθύγραμμα τμήματα προεκταθούν στο άπειρο, θα ταμούν προς το μέρος που υπάρχουν οι γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών.

Αξιώματα 9.

1. Αυτά που είναι ίσα με το ίδιο αντικείμενο είναι ίσα και μεταξύ τους.

2. Και εάν σε ίσα αντικείμενα προστεθούν ίσα, τα αθροίσματα είναι ίσα.

3. Και εάν σε ίσα αφαιρεθούν ίσα, τα υπόλοιπα είναι ίσα.

4. Και εάν σε άνισα προστεθούν ίσα, τα αθροίσματα είναι άνισα.

5. Και τα διπλάσιου του ίδιου είναι ίσα μεταξύ τους.^[8]

6. Και τα μισά του ίδιου είναι ίσα μεταξύ τους.^[9]

7. Και αυτά που συμπίπτουν μεταξύ τους είναι ίσα μεταξύ τους.

8. Και το ολόκληρο είναι μεγαλύτερο του μέρους.

9. Και δύο ευθύγραμμα τμήματα δεν συμπεριλαμβάνουν χωρίο.

Προτάσεις 48.

1. Να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο με βάση δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα.

Έστω το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Δηλαδή, πρέπει να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο με βάση το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Σχεδιάζεται ο κύκλος ΒΓΔ με κέντρο το Α και ακτίνα το ΑΒ. Παρομοίως, σχεδιάζεται ο κύκλος ΑΓΕ με κέντρο το Β και ακτίνα το ΒΑ. Από το σημείο Γ, στο οποίο τέμνονται μεταξύ τους οι κύκλοι, και από τα σημεία Α, Β προκύπτουν οι ευθείες ΓΑ, ΓΒ. Και επειδή το σημείο Α είναι κέντρο του κύκλου ΓΔΒ, το ΑΓ είναι ίσο με το ΑΒ. Παρομοίως, επειδή το σημείο Β είναι κέντρο του κύκλου ΓΑΕ, η ΒΓ είναι ίση με τη ΒΑ. Άρα τα ΓΑ, ΓΒ ισούνται με το ΑΒ. Αυτά που είναι ίσα με το ίδιο αντικείμενο είναι ίσα και μεταξύ τους. Άρα και το ΓΑ είναι ίση με το ΓΒ· άρα και οι τρεις ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ είναι μεταξύ τους ίσες. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, και κατασκευάστηκε με βάση το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. (Άρα κατασκευάζεται ισόπλευρο τρίγωνο με βάση δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα)· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

2. Να τοποθετηθεί με άκρη δεδομένο σημείο ευθύγραμμο τμήμα που ισούται με δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα.

Έστω το δεδομένο σημείο Α, και το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. Δηλαδή, πρέπει να τοποθετηθεί με άκρη το σημείο Α ευθύγραμμο τμήμα που ισούται ίσο με το ΒΓ.

Γιατί, η ευθεία ΑΒ προκύπτει από το σημείο Α στο σημείο Β, και κατασκευάζεται με βάση αυτήν το ισόπλευρο τρίγωνο ΔΑΒ, και να έχουν προεκταθεί τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΑ, ΔΒ στα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ, ΒΖ και σχεδιάζεται ο κύκλος ΓΗΘ με κέντρο το Β και ακτίνα το ΒΓ, και παρομοίως σχεδιάζεται ο κύκλος ΗΚΛ με κέντρο το Δ και ακτίνα το ΔΗ.

Λοιπόν, επιδή το σημείο Β είναι κέντρου του κύκλου ΓΗΘ, το ΒΓ είναι ίσο με το ΒΗ. Παρομοίως, επειδή το σημείο Δ είναι κέντρο του κύκλου ΚΛΗ, το ΔΛ είναι ίσο με το ΔΗ, από τα οποία το ΔΑ είναι ίσο με το ΔΒ. Άρα το υπόλοιπο τμήμα ΑΛ είναι ίσο με το υπόλοιπο τμήμα ΒΗ. Και αποδείχθηκε και ότι το ΒΓ είναι ίσο με το ΒΗ. Άρα τα ΑΛ, ΒΓ είναι ίσα με το ΒΗ. Και αυτά που είναι ίσα με το ίδιο αντικείμενο είναι ίσα και μεταξύ τους· άρα και το ΑΛ είναι ίσο με το ΒΓ.

Άρα από το δεδομένο σημείο Α έχει τοποθετηθεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΛ που ισούται με το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

3. Με δύο δεδομένα άνισα ευθύγραμμα τμήματα από το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα να αφαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα που ισούται με το μικρότερο.

Έστω τα δεδομένα δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, Γ από τα οποία μεγαλύτερο είναι το ΑΒ. Δηλαδή, πρέπει από το μεγαλύτερο το ΑΒ να αφαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το μικρότερο το Γ. Τοποθετείται με άκρη το Α το ΑΔ που ισούται με το ευθύγραμμο τμήμα Γ· και σχεδιάζεται ο κύκλος ΔΕΖ με κέντρο το Α και ακτίνα το ΑΔ. Και επειδή το σημείο Α είναι κέντρο του κύκλου ΔΕΖ, το ΑΕ ισούται με το ΑΔ· αλλά και το Γ είναι ίση με το ΑΔ. άρα τα ΑΕ, Γ είναι ίσα με το ΑΔ· ώστε και το ΑΕ να είναι ίσο με το Γ. Άρα με δύο δεδομένα άνισα ευθύγραμμα τμήματα τα ΑΒ, Γ αφαιρείται από το μεγαλύτερο το ΑΒ το ΑΕ που ισούται με το μικρότερη το Γ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

4. Εάν σε δύο τρίγωνα οι δύο πλευρές του ενός ισούνται με τις αντίστοιχες δύο πλευρές του άλλου, και έχουν τη γωνία του ενός, αυτήν που οριοθετείται από τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα, ίση με τη γωνία του άλλου· και η βάση θα είναι ίση με τη βάση, και το τρίγωνο θα είναι ίσο με το τρίγωνο, και οι υπόλοιπες γωνίες θα είναι ίσες με τις αντίστοιχες υπόλοιπες γωνίες, απέναντι από τις οποίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές.

Έστω τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ που έχουν τις δύο πλευρές ΑΒ, ΑΓ του ενός ίσες με τις αντίστοιχες δύο πλευρές ΔΕ, ΔΖ του άλλου, και τη γωνία ΒΑΓ του ενός ίση με τη γωνία ΕΔΖ του άλλου. Ισχυρίζομαι ότι και η βάση ΒΓ είναι ίση με τη βάση ΕΖ, και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ, και ότι οι υπόλοιπες γωνίες είναι ίσες με τις αντίστοιχες υπόλοιπες γωνίες, απέναντι από τις οποίες εκτείνονται οι ίσες πλευρές, δηλαδή ότι η ΑΒΓ ισούται με τη ΔΕΖ και η ΑΓΒ ισούται με τη ΔΖΕ. Γιατί εφαρμόζει το τρίγωνο ΑΒΓ στο τρίγωνο ΔΕΖ, τοποθετείται το σημείο Α στο σημείο Δ και η ευθεία ΑΒ στη ΔΕ· θα εφαρμόσει και το σημείο Β στο Ε, διότι η ΑΒ είναι ίση με τη ΔΕ· δηλαδή έχοντας εφαρμόσει την ΑΒ στη ΔΕ θα εφαρμόσει και η ευθεία ΑΓ στη ΔΖ, διότι η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με τη γωνία ΕΔΖ· ώστε και το σημείο Γ να εφαρμόσει στο σημείο Ζ, παρομοίως διότι η ΑΓ είναι ίση με τη ΔΖ. Αλλά και να μην εφάρμοζε το Β στο Ε, η βάση ΒΓ δε θα εφαρμόσει στη βάση ΕΖ. Αν εφάρμοζε το Β στο Ε και το Γ στο Ζ και δεν εφάρμοζε η ΒΓ στην ΕΖ, δύο ευθύγραμμα τμήματα θα οριοθετούσαν χωρίο· αυτό ακριβώς που είναι αδύνατον. Άρα η βάση ΒΓ θα εφαρμόσει στη βάση ΕΖ και θα είναι ίση με αυτήν· ώστε ολόκληρο το τρίγωνο ΑΒΓ να εφαρμόσει σε ολόκληρο το τρίγωνο ΔΕΖ και να είναι ίσο με αυτό, και οι υπόλοιπες γωνίες να εφαρμόσουν στις υπόλοιπες γωνίες και να είναι ίσες με αυτές, δηλαδή η ΑΒΓ να ισούται με τη ΔΕΖ και η ΑΓΒ με τη ΔΖΕ. Άρα εάν σε δύο τρίγωνα οι δύο πλευρές του ενός ισούνται με τις αντίστοιχες δύο πλευρές του άλλου, και έχουν τη γωνία του ενός, αυτήν που οριοθετείται από τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα, ίση με τη γωνία του άλλου· και η βάση θα είναι ίση με τη βάση, και το τρίγωνο θα είναι ίσο με το τρίγωνο, και οι υπόλοιπες γωνίες θα είναι ίσες με τις αντίστοιχες υπόλοιπες γωνίες, απέναντι από τις οποίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

5. Στα ισοσκελή τρίγωνα οι προσκείμενες γωνίες στη βάση είναι ίσες μεταξύ τους, και προεκτείνοντας τις ίσες πλευρές οι εξωτερικές γωνίες κάτω από τη βάση είναι ίσες μεταξύ τους.

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ που έχει την πλευρά ΑΒ ίση με την πλευρά ΑΓ, και κατασκευάζονται τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ, ΓΕ ως προεκτάσεις των ευθύγραμμων τμήματων ΑΒ, ΑΓ· ισχυρίζομαι ότι η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με τη γωνία ΑΓΒ, και η ΓΒΔ με τη ΒΓΕ. Γιατί έστω τυχαίο σημείο Ζ στη ΒΔ, και από το μεγαλύτερο το ΑΕ αφαιρείται το μικρότερο το ΑΗ που είναι ίσο με το ΑΖ, και προέκυψαν τα ευθύγραμμα τμήματα ΖΓ, ΗΒ. Λοιπόν επειδή το ΑΖ είναι ίσο με το ΑΗ και και το ΑΒ με το ΑΓ, δηλαδή τα ΖΑ, ΑΓ είναι ίσα με τα ΗΑ, ΑΒ αντίστοιχα· και οριοθετούν την κοινή γωνία ΖΑΗ· άρα η βάση ΖΓ είναι ίση με τη βάση ΗΒ, και το τρίγωνο ΑΖΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΗΒ, και οι υπόλοιπες γωνίες είναι ίσες με τις υπόλοιπες γωνίες αντίστοιχα, απέναντι από τις οποίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές, η ΑΓΖ (είναι ίση) με την ΑΒΗ, και η ΑΖΓ με την ΑΗΒ. Και επειδή ολόκληρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΖ είναι ίσο με το ΑΗ, στα οποία το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ισούται με το ΑΓ, άρα και το υπόλοιπο ευθύγραμμο τμήμα ΒΖ ισούται με το υπόλοιπο ΓΗ. Και αποδείχθηκε ότι το ΖΓ είναι ίσο με το ΗΒ· δηλαδή τα ΒΖ, ΖΓ είναι ίσα με τα ΓΗ, ΗΒ αντίστοιχα· και η γωνία ΒΖΓ είναι ίση με τη γωνία ΓΗΒ, και βάση είναι η κοινή τους ΒΓ· άρα και το ΒΖΓ τρίγωνο είναι ίσο με το τρίγωνο ΓΗΒ, και οι υπόλοιπες θα είναι ίσες με τις υπόλοιπες γωνίες αντίστοιχα, απέναντι από τις οποίες εκτείνονται οι ίσες πλευρές· άρα η ΖΒΓ είναι ίση με την ΗΓΒ και η ΒΖΓ με τη ΓΒΗ. Λοιπόν επειδή ολόκληρη η γωνία ΑΒΗ αποδείχθηκε ίση με ολόκληρη την ΑΓΖ, στις οποίες η γωνία ΓΒΗ είναι ίση με τη ΒΓΖ, άρα η υπόλοιπη ΑΒΓ είναι ίση με την ΑΓΒ· και είναι προσκείμενες στη βάση του τριγώνου ΑΒΓ. Και Αποδείχθηκε και ότι η ΖΒΓ είναι ίση με την ΗΓΒ· και είναι κάτω από τη βάση. Άρα στα ισοσκελή τρίγωνα οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, και από τις προεκτείνοντας τις ίσες πλευρές οι γωνίες κάτω από τη βάση είναι ίσες μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

6. Εάν οι δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους, και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες θα είναι ίσες μεταξύ τους.

Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει τη γωνία ΑΒΓ ίση με τη γωνία ΑΓΒ· ισχυρίζομαι ότι και η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την ΑΓ. Γιατί αν η ΑΒ είναι άνιση με την ΑΓ, κάποια από αυτές είναι μεγαλύτερη. Έστω μεγαλύτερη η ΑΒ, και από το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ αφαιρείται το ευθύγραμμο τμήμα ΔΒ που είναι ίσο με το μικρότερο ΑΓ, και προκύπτει το ΔΓ. Λοιπόν, επειδή το ΔΒ είναι ίσο με το ΑΓ και το ΒΓ είναι κοινο, δηλαδή τα ΔΒ, ΒΓ είναι ίσα με τα δύο ΑΓ, ΓΒ αντίστοιχα, και η γωνία ΔΒΓ είναι ίση με την ΑΓΒ· άρα η βάση ΔΓ είναι ίση με τη βάση ΑΒ, και το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΓΒ, το μικρότερο είναι ίσο με το μεγαλύτερο· αυτό ακριβώς που είναι άτοπο· άρα η ΑΒ δεν είναι άνιση με την ΑΓ· άρα είναι ίση. Άρα εάν οι δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους, και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες θα είναι ίσες μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

7. Στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα, δε μπορούν να κατασκευαστούν δύο ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία να ισούνται αντίστοιχα με δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα· να συνδέουν σε άλλο σημείο τα μεν και σε άλλο σημείο τα δε, επί τα αυτά μέρη του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος· και τα οποία να έχουν τα ίδια άκρα με τις αρχικές ευθείες.

Γιατί αν είναι δυνατόν, κατασκευάζονται τα δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ, ΔΒ, τα οποία ισούνται αντίστοιχα με τα άλλα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΒ· τα μεν συνδέουν σε άλλο σημείο, το Γ, και τα δε σε άλλο σημείο, το Δ, επί τα αυτά μέρη του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ· και τα οποία έχουν τα ίδια άκρα με τις αρχικές, ώστε να ισούνται το ΓΑ με το ΔΑ που έχουν κοινό άκρο το Α, να ισούνται το ΓΒ με το ΔΒ που έχουν κοινό άκρο το Β, και να προκύψει η ΓΔ. Λοιπόν, το ΑΓ είναι ίσο με το ΑΔ, και η γωνία ΑΓΔ είναι ίση με την ΑΔΓ· άρα η ΑΔΓ είναι μεγαλύτερη της ΔΓΒ· άρα η ΓΔΒ είναι πολύ μεγαλύτερη της ΔΓΒ. Παρομοίως, επειδή το ΓΒ είναι ίσο με το ΔΒ, και η γωνία ΓΔΒ είναι ίση με τη γωνία ΔΓΒ. Αποδείχθηκε και πολύ μεγαλύτερη από αυτήν· αυτό ακριβώς που είναι αδύνατον. Άρα επί τα αυτά μέρη μιας ευθείας, δε μπορούν να κατασκευαστούν δύο ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία να είναι ίσα με δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα αντίστοιχα, από άλλο σημείο τα μεν και από άλλο σημείο τα δε, και τα οποία να έχουν τα ίδια άκρα με τις αρχικές ευθείες· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

8. Εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές του ενός ίσες με τις δύο πλευρές του άλλου αντίστοιχα, εάν και η βάση είναι ίση με τη βάση, θα έχουν τη γωνία, αυτήν που οριοθετείται από τις ίσες πλευρές, του ενός ίση με τη γωνία του άλλου.

Έστω δύο τρίγωνα τα ΑΒΓ, ΔΕΖ που έχουν τις δύο πλευρές ΑΒ, ΑΓ ίσες με τις δύο πλευρές ΔΕ, ΔΖ αντίστοιχα, την ΑΒ ίση με τη ΔΕ και την ΑΓ με τη ΔΖ· έστω ότι έχουν και τη βάση ΒΓ ίση με τη βάση ΕΖ· ισχυρίζομαι ότι και η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με τη γωνία ΕΔΖ. Γιατί εφαρμόζεται το τρίγωνο ΑΒΓ στο τρίγωνο ΔΕΖ και τοποθετείται το σημείο Β στο σημείο Ε και το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ στο ΕΖ· θα εφαρμόσει και το σημείο Γ στο Ζ, διότι η ΒΓ είναι ίση με την ΕΖ· δηλαδή, έχοντας εφαρμόσει τη ΒΓ στην ΕΖ εφαρμόζουν και οι ΒΑ, ΓΑ στις ΕΔ, ΔΖ. Γιατί, έστω ότι η βάση ΒΓ εφαρμόζει στη βάση ΕΖ και οι πλευρές ΒΑ, ΑΓ δεν εφαρμόζουν στις πλευρές ΕΔ, ΔΖ, αλλά τότε θα τεμνηθούν, γιατί τα ΕΗ, ΗΖ κατασκευάστηκαν επι τα αυτά μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος τα οποία είναι ίσα με τα ΔΕ, ΔΖ αντίστοιχα, σε άλλο σημείο συνδέουν τα μεν και σε άλλο σημείο τα δε, και τα οποία έχουν τα ίδια άκρα με τις αρχικές ευθείες. Αυτά δε μπορούν να κατασκευαστούν μαζί· άρα, μην εφαρμόζοντας τη βάση ΒΓ στη βάση ΕΖ δε θα εφαρμόσουν και οι πλευρές ΒΑ, ΑΓ στις ΕΔ, ΔΖ. Άρα θα εφαρμόσουν· ώστε και η γωνία ΒΑΓ να εφαρμόσει στην ΕΔΖ και να είναι ίση με αυτήν. Άρα εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές ίσες με τις δύο πλευρές αντίστοιχα, εάν και η βάση είναι ίση με τη βάση, θα έχουν τη γωνία ίση με τη γωνία αυτήν που οριοθετείται από τις ίσες ευθείες· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

9. Να διχοτομηθεί η δεδομένη ευθύγραμμη γωνία.

Έστω η δεδομένη ευθύγραμμη γωνία ΒΑΓ. Δηλαδή, αυτή πρέπει να διχοτομηθεί. Έστω το τυχαίο σημείο Δ στο ΑΒ, και από το ΑΓ αφαιρείται το ΑΕ που είναι ίσο με το ΑΔ, και προκύπτει το ΔΕ· και κατασκευάζεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΔΕΖ με βάση το ΔΕ, και προκύπτει το ΑΖ· ισχυρίζομαι ότι η γωνία ΒΑΓ διχοτομείται από την ευθεία ΑΖ. Γιατί, η ΑΔ είναι ίση με την ΑΕ, και η ΑΖ είναι κοινή πλευρά, δηλαδή οι δύο ΔΑ, ΑΖ είναι ίσες με τις ΕΑ, ΑΖ αντίστοιχα. Και η βάση ΔΖ είναι ίση με τη βάση ΕΖ· άρα η γωνία ΔΑΖ είναι ίση με τη γωνία ΕΑΖ. Άρα η δεδομένη ευθύγραμμη γωνία ΒΑΓ διχοτομείται από την ευθεία ΑΖ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

10. Να διχοτομηθεί η δεδομένη πεπερασμένη ευθεία.

Έστω η δεδομένη πεπερασμένη ευθεία ΑΒ· δηλαδή, η πεπερασμένη ευθεία ΑΒ πρέπει να διχοτομηθεί. Κατασκευάζεται με βάση αυτήν το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ διχοτομεί τη γωνία ΑΓΒ· ισχυρίζομαι ότι η ευθεία ΑΒ διχοτομείται στο σημείο Δ. Γιατί, η ΑΓ είναι ίση με τη ΓΒ, και η ΓΔ είναι κοινή πλευρά, δηλαδή οι ΑΓ, ΓΔ είναι ίσες με τις ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα· και η γωνία ΑΓΔ είναι ίση με τη γωνία ΒΓΔ· άρα η βάση ΑΔ είναι ίση με τη βάση ΒΔ. Άρα η δεδομένη πεπερασμένη ευθεία ΑΒ διχοτομείται στο Δ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

11. Να διέλθει ευθύγραμμο τμήμα κάθετο σε δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα από δεδομένο σημείο της.

Έστω το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το δεδομένο σημείο της Γ· δηλαδή, πρέπει να διέλθει ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από το σημείο Γ. Έστω το τυχαίο σημείο Δ στην ΑΓ, και κατασκευάζεται το ΓΕ ίσο με το ΓΔ, και κατασκευάζεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΖΔΕ με βάση το ΔΕ, και προκύπτει το ΖΓ· ισχυρίζομαι, ότι η ευθεία γραμμή ΖΓ διέρχεται κάθετα στην ευθεία ΑΒ από το σημείο Γ. Γιατί, το ΔΓ είναι ίσο με το ΓΕ, δηλαδή τα ΔΓ, ΓΖ είναι ίσα με τα ΕΓ, ΓΖ αντίστοιχα· και η βάση ΔΖ είναι ίση με τη βάση ΖΕ· άρα η γωνία ΔΓΖ είναι ίση με τη γωνία ΕΓΖ· και είναι εφεξείς. Και όταν ευθεία που έχει τοποθετηθεί σε μια άλλη ευθεία με τέτοιο τρόπο, ώστε οι εφεξείς γωνίες να ίσες μεταξύ τους, οι ίσες γωνίες είναι ορθές· άρα η κάθε μία από τις ΔΖΓ, ΖΓΕ είναι ορθή. Άρα το ευθύγραμμο τμήμα ΖΓ διέρχεται κάθετο στο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από το δεδομένο σημείο της Γ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

12. Να διέλθει ευθύγραμμο τμήμα κάθετο σε δεδομένη ευθεία από δεδομένο σημείο, το οποίο δεν βρίσκεται σε αυτήν.

Έστω η δεδομένη ευθεία ΑΒ και το δεδομένο σημείο Γ, το οποίο δε βρίσκεται πάνω σε αυτήν· δηλαδή, πρέπει να διέλθει ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στη δεδομένη ευθεία ΑΒ από το δεδομένο σημείο Γ, το οποίο δεν βρίσκεται σε αυτήν. Γιατί, έστω επί τα αυτά μέρη της ευθείας ΑΒ το τυχαίο σημείο Δ, και σχεδιάζεται ο κύκλος ΕΖΗ με κέντρο το Γ και ακτίνα το ΓΔ, και διχοτομείται η ευθεία ΕΗ στο Θ, και προκύπτουν τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ· ισχυρίζομαι ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΓΘ διέρχεται κάθετο στη δεδομένη ευθεία ΑΒ από το δεδομένο σημείο Γ, το οποίο δεν βρίσκεται σε αυτήν. Γιατί, το ΗΘ είναι ίσο με το ΘΕ, και η ΘΓ είναι κοινή πλευρά, δηλαδή τα ΗΘ, ΘΓ είναι ίσα αντίστοιχα με τα ΕΘ, ΘΓ· και η βάση ΓΗ είναι ίση με τη βάση ΓΕ· άρα η γωνία ΓΘΗ είναι ίση με τη γωνία ΕΘΓ. Είναι και εφεξείς. Και όταν ευθύγραμμο τμήμα έχει τοποθετηθεί σε ευθεία^[10] με τέτοιο τρόπο, ώστε οι εφεξείς γωνίες να ίσες μεταξύ τους, οι ίσες γωνίες είναι ορθές, το τοποθετημένο ευθλυγραμμο τμήμα ονομάζεται κάθετο, στη γωνία την οποία σχημάτισε. Άρα διέρχεται το ευθύγραμμο τμήμα ΓΘ κάθετο στη δεδομένη ευθεία ΑΒ από το δεδομένο σημείο Γ, το οποίο δεν βρίσκεται σε αυτήν· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

13.Εάν ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει τοποθετηθεί πάνω σε ένα ευθύγραμμο τμήμα σχηματίζοντας γωνίες, είται θα σχηματιστούν δύο ορθές γωνίες ή γωνίες με άθροισμα ίσο με δύο ορθές.

Γιατί κάποια ευθεία, έστω η ΑΒ, έχοντας τοποθετηθεί στη ΓΔ σχηματίζει τις γωνίες ΓΒΑ, ΑΒΔ· ισχυρίζομαι ότι είται οι δύο γωνίες ΓΒΑ, ΑΒΔ είναι δύο ορθές ή έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές. Λοιπόν, αν η ΓΒΑ είναι ίση με την ΑΒΔ είναι δύο ορθές. Αν δεν είναι ίσες, έστω το ΒΕ που διέρχεται κάθετο στο (ευθύγραμμο τμήμα) ΓΔ από το σημείο Β· και επειδή η ΓΒΕ είναι ίση με το άθροισμα των δύο ΓΒΑ, ΑΒΕ, η ΕΒΔ είναι κοινή προσκείμενη γωνία· άρα, το άθροισμα των ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι ίσο με το άθροισμα των τριών ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔ. Αποδείχθηκε και ότι οι ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι ίσες με αυτές τις τρεις. Αυτά που είναι ίσα με το ίδιο αντικείμενο είναι ίσα και μεταξύ τους. Άρα και το άθροισμα των ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι ίσο με το άθροισμα των ΔΒΑ, ΑΒΓ. Αλλά το άθροισμα των ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι ίσο με δύο ορθές· άρα και οι ΔΒΑ, ΑΒΓ είναι ίσες με δύο ορθές. Άρα εάν τοποθετηθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ένα ευθύγραμμο τμήμα σχηματίζοντας γωνίες, είται θα σχηματιστούν δύο ορθές γωνίες ή γωνίες με άθροισμα ίσο με δύο ορθές· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

14. Εάν δύο ευθύγραμμα τμήματα, που βρίσκονται εκατέρωθεν κάποιου ευθύγραμμου τμήματος με κοινό άκρο κάποιο σημείο του, σχηματίζουν εφεξείς γωνίες με άθροισμα δύο ορθές, τότε τα ευθύγραμμα τμήματα θα βρίσκονται σε ευθεία μεταξύ τους.

Γιατί, έστω τα δύο ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ, ΒΔ που βρίσκονται εκατέρωθεν του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με κοινό άκρο το σημείο Β του ΑΒ, σχηματίζουν εφεξείς γωνίες με άθροισμα δύο ορθές· ισχυρίζομαι ότι το ΒΔ βρίσκεται σε ευθεία με το ΓΒ. Γιατί, αν το ΒΔ δεν βρίσκεται σε ευθεία με το ΒΓ, έστω ότι το ΒΕ βρίσκεται σε ευθεία με το ΒΓ. Λοιπόν, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σχημάτησε την ευθεία γωνία ΓΒΕ, άρα το άθροισμα των γωνιών ΑΒΓ, ΑΒΕ είναι ίσο με δύο ορθές· και το άθροισμα των ΑΒΓ, ΑΒΔ είναι ίσο με δύο ορθές· άρα το άθροισμα των ΓΒΑ, ΑΒΕ είναι ίσο με το άθροισμα των ΓΒΑ, ΑΒΔ. Αφαιρείται και από τα δύο η ΓΒΑ· άρα η υπόλοιπη γωνία ΑΒΕ είναι ίση με την υπόλοιπη ΑΒΔ, η μικρότερη είναι ίση με τη μεγαλύτερη· αυτό ακριβώς που είναι αδύνατον. Άρα το ΒΕ δε βρίσκεται σε ευθεία με τη ΓΒ. Παρομοίως, θα αποδείκνείεται για κάθε άλλο ευθύγραμμο τμήμα εκτός του ΒΔ· άρα η ΓΒ βρίσκεται σε ευθεία με τη ΒΔ. Άρα εάν δύο ευθύγραμμα τμήματα, που βρίσκονται εκατέρωθεν κάποιου ευθύγραμμου τμήματος με κοινό άκρο κάποιο σημείο του, σχηματίζουν εφεξείς γωνίες με άθροισμα δύο ορθές, τότε τα ευθύγραμμα τμήματα θα βρίσκονται σε ευθεία μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

15. Εάν δύο ευθείες τέμνονται μεταξύ τους, σχηματίζουν ίσες κατα κορυφή γωνίες.

Γιατί τα δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ τέμνονται μεταξύ τους στο σημείο Ε· ισχυρίζομαι ότι η γωνία ΑΕΓ είναι ίση με τη γωνία ΔΕΒ, και η γωνία ΓΕΒ ίση με τη γωνία ΑΕΔ. Γιατί, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ τοποθετήθηκε στο ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ σχηματίζοντας τις γωνίες ΓΕΑ, ΑΕΔ· άρα το άθροισμα των γωνιών ΓΕΑ, ΑΕΔ είναι ίσο με δύο ορθές. Παρομοίως, το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ τοποθετήθηκε στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σχηματίζοντας τις γωνίες ΑΕΔ, ΔΕΒ, άρα οι γωνίες ΑΕΔ, ΔΕΒ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές. Και αποδείχθηκε και ότι οι ΓΕΑ, ΑΕΔ έχουν άθροισμα δύο ορθές· άρα οι ΓΕΑ, ΑΕΔ έχουν άθροισμα ίσο με το άθροισμα των ΑΕΔ, ΔΕΒ. Αφαιρείται η κοινή γωνία ΑΕΔ· άρα η υπόλοιπη ΓΕΑ είναι ίση με την υπόλοιπη ΒΕΔ· παρομοίως αποδεικνύεται ότι οι ΓΕΒ είναι ίση με τη ΔΕΑ. Εάν δύο ευθείες τέμνονται μεταξύ τους, σχηματίζουν ίσες κατα κορυφή γωνίες· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

(Πόρισμα: Από αυτό είναι φανερό ότι εάν δύο ευθύγραμμα τμήματα τέμνονται μεταξύ τους, σχηματίζουν στην τομή γωνίες ίσες με το άθροισμα τεσσάρων ορθών.)

16. Σε κάθε τρίγωνο έχοντας προεκτείνει μια από τις πλευρές η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από τις εσωτερικές απέναντι γωνίες.

Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ, και προεκτείνεται η πλευρά του ΒΓ μέχρι το Δ· ισχυρίζομαι ότι η εξωτερική γωνία ΑΓΔ είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από τις εσωτερικές απέναντι γωνίες ΓΒΑ, ΒΑΓ. Το ΑΓ διχοτομείται στο Ε, και προέκυψε η ΒΕ, η οποία προεκτείνεται μέχρι το Ζ, και τοποθετείται το ΕΖ που είναι ίση με το ΒΕ, και προέκυψε το ΖΓ, και διέρχεται το ΑΓ από το Η. Λοιπόν, το ΑΕ είναι ίσο με το ΕΓ, και το ΒΕ με το ΒΖ, δηλαδή τα δύο ΑΕ, ΕΒ είναι ίσες με τα δύο ΓΕ, ΕΖ αντίστοιχα· και η γωνία ΑΕΒ είναι ίση με τη γωνία ΖΕΓ, γιατί είναι κατά κορυφή γωνίες· άρα η βάση ΑΒ είναι ίση με τη βάση ΖΓ, και το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ίσο με το τρίγωνο ΖΓ, και οι υπόλοιπες γωνίες είναι ίσες με τις υπόλοιπες γωνίες αντίστοιχα, απέναντι από τις οποίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές· άρα η ΒΑΕ είναι ίση με τη ΕΓΖ. Και η ΕΓΔ είναι μεγαλύτερη από την ΕΓΖ· άρα η ΑΓΔ είναι μεγαλύτερη από τη ΒΑΕ. Παρομοίως, η ΒΓ διχοτοεμείται και η ΒΓΗ, τουτέστιν η ΑΓΔ, είναι μεγαλύτερη από την ΑΒΓ. Άρα σε κάθε τρίγωνο έχοντας προεκτείνει μια από τις πλευρές η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από τις εσωτερικές απέναντι γωνίες. αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

17. Σε κάθε τρίγωνο οι δύο γωνίες έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν.

Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ· ισχυρίζομαι ότι οι δύο γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν. Γιατί, προεκτείνεται η ΒΓ μέχρι το Δ. Και στο τρίγωνο ΑΒΓ η εξωτερική γωνία ΑΓΔ είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από την εσωτερική απέναντι γωνία ΑΒΓ. Κοινή προσκείμενη είναι η ΑΓΒ· άρα οι ΑΓΔ, ΑΓΒ έχουν άθροισμα μικρότερο των ΑΒΓ, ΒΓΑ. Αλλά οι ΑΓΔ, ΑΓΒ είναι μικρότερες από δύο ορθές· άρα οι ΑΒΓ, ΒΓΑ είναι μικρότερες από δύο ορθές. Παρομοίως θα αποδείξουμε ότι και οι ΒΑΓ, ΑΓΒ έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές και ακόμη μία φορά για τις ΓΑΒ, ΑΒΓ. Άρα σε κάθε τρίγωνο οι δύο γωνίες έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

18. Σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία^[11].

Γιατί, έστω το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει μεγαλύτερη την πλευρά ΑΓ μεγαλύτερη από την ΑΒ· ισχυρίζομαι ότι και η γωνία ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη από τη ΒΓΑ. Γιατί, η ΑΓ είναι μεγαλύτερη από την ΑΒ, τοποθετείται η ΑΔ που είναι ίση με την ΑΒ και προκύπτει η ΒΔ. Και στο τρίγωνο ΒΓΔ η γωνία ΑΔΒ είναι εξωτερική, είναι μεγαλύτερη της απέναντι εσωτερικής ΔΓΒ· η ΑΔΒ είναι ίση με την ΑΒΔ, και η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την ΑΔ· άρα και η ΑΒΔ είναι μεγαλύτερη από την ΑΓΒ· άρα η ΑΒΓ είναι πολύ μεγαλύτερη από την ΑΓΒ. Άρα σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

19. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται η μεγαλύτερη πλευρά.^[12].

Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει τη γωνία ΑΒΓ μεγαλύτερη από τη ΒΓΑ· ισχυρίζομαι ότι και η πλευρά ΑΓ είναι μεγαλύτερη της ΑΒ. Γιατί, αν δεν ισχύει, είται η ΑΓ είναι μικρότερη με την ΑΒ. Λοιπόν, η ΑΓ δεν είναι ίση με την ΑΒ· γιατί αν ήταν και η γωνία ΑΒΓ θα ήταν ίση με την ΑΓΒ· που δεν είναι· άρα η ΑΓ δεν είναι ίση με την ΑΒ. Ούτε η ΑΓ είναι μικρότερη της ΑΒ· γιατί, αν ήταν και η γωνία ΑΒΓ θα ήταν μικρότερη της ΑΓΒ· που δεν είναι· άρα η ΑΓ δεν είναι μικρότερη της ΑΒ. Και αποδείχθηκε και ότι δεν είναι ίση. Άρα η ΑΓ είναι εμγαλύτερη της ΑΒ. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται η μεγαλύτερη πλευρά· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

20. Σε κάθε τρίγωνο οι δύο πλευρές μαζί είναι μεγαλύτερες της τρίτης με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν.

Γιατί έστω το τρίγωνο ΑΒΓ· ισχυρίζομαι ότι οι δύο πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ είναι μεγαλύτερες της τρίτης πλευράς με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν· οι ΒΑ, ΓΑ μαζί είναι μεγαλύτερες της ΒΓ· οι ΑΒ, ΒΓ μαζί είναι μικρότερες της ΑΓ· οι ΒΓ, ΓΑ μαζί είναι μικρότερες της ΑΒ. Γιατί, έστω ότι το ΒΑ διέρχεται από το σημείο Δ, και τοποθετείται το ΑΔ που είναι ίση με το ΓΑ, και προκύπτει η ΔΓ. Λοιπόν, το ΔΑ είναι ίσο με το ΑΓ, και η ΑΔΓ είναι ίση με την ΑΓΔ· άρα η ΒΓΔ είναι μεγαλύτερη από την ΑΔΓ· και το τρίγωνο ΔΓΒ έχει τη γωνία ΒΓΔ μεγαλύτερη από τη ΒΔΓ, η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία, άρα η ΔΒ είναι μεγαλύτερη από τη ΒΓ. Και η ΔΑ είναι μεγαλύτερη από την ΑΓ· άρα οι ΒΑ, ΑΓ μαζί είναι μεγαλύτερες από τη ΒΓ· παρομοίως, θα δείξουμε ότι και οι ΑΒ, ΒΓ μαζί είναι μεγαλύτερες από τη ΓΑ και ότι οι ΒΓ, ΓΑ μαζί είναι μεγαλύτερες από την ΑΒ. Άρα σε κάθε τρίγωνο οι δύο πλευρές μαζί είναι μεγαλύτερες της τρίτης με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

21. Εάν σε ένα τρίγωνο κατασκευαστούν δύο ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα δύο άκρα μιας πλευράς με ένα σημείο εντός του τριγώνου, οι κατασκευασμένες πλευρές έχουν άθροισμα μικρότερο από τις υπόλοιπες πλευρές του τριγώνου, και οριοθετούν μεγαλύτερη γωνία.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ κατασκευάζονται τα δύο ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ, ΔΓ που συνδέουν τα άκρα Β, Γ με το σημείο Δ εντός του τριγώνου· ισχυρίζομαι ότι οι ΒΔ, ΔΓ έχουν άθροισμα μικρότερο από τις ΒΑ, ΑΓ και οριοθετούν τη γωνία ΒΔΓ που είναι μεγαλύτερη από την ΒΑΓ.

Γιατί, διέρχεται η ΒΔ από το Ε. Και σε κάθε τρίγωνο οι δύο πλευρές έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, στο τρίγωνο ΑΒΕ οι δύο πλευρές ΑΒ, ΑΕ έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από τη ΒΕ. Η ΕΓ είναι κοινή πλευρά. Άρα οι ΒΑ, ΑΓ έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από τις ΒΕ, ΕΓ. Παρομοίως, στο τρίγωνο ΓΕΔ οι δύο πλευρές ΓΕ, ΕΔ έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από τη ΓΔ, η πλευρά ΔΒ είναι κοινή. Άρα οι ΓΕ, ΕΒ έχουν άθροισμα μεγαλύτερο ΓΔ, ΔΒ. Αλλά αποδείχθηκε ότι οι ΒΕ, ΕΓ έχουν μεγαλύτερο άθροισμα από τις ΒΑ, ΑΓ. Παρομοίως, οι ΒΑ, ΑΓ έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από τις ΒΔ, ΔΓ. Παρομοίως, σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από την απέναντι εσωτερική, άρα η εξωτερική γωνία ΒΔΓ του τριγώνου ΓΔΕ είναι μεγαλύτερη από την ΓΕΔ. Επομένως, και η εξωτερική γωνία ΓΕΒ του τριγώνου ΑΒΕ είναι μεγαλύτερη από τη ΒΑΓ. Αλλά η ΒΔΓ αποδείχθηκε μεγαλύτερη από τη ΓΕΒ. Άρα παρομοίως η ΒΔΓ είναι μεγαλύτερη από τη ΒΑΓ. Άρα εάν σε ένα τρίγωνο κατασκευαστούν δύο ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα δύο άκρα μιας πλευράς με ένα σημείο εντός του τριγώνου, οι κατασκευασμένες πλευρές έχουν άθροισμα μικρότερο από τις υπόλοιπες πλευρές του τριγώνου, και οριοθετούν μεγαλύτερη γωνία· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

22. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τρία ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία είναι ίσα με τρία δεδομένα (ευθύγραμμα τμήματα). Και πρέπει τα δύο να έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν (διότι σε αυτό και σε κάθε τρίγωνο οι δύο πλευρές έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από την τρίτη με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν).

Έστω τα δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα τα Α, Β, Γ από τα οποία τα δύο έχουν μεγαλύτερο άθροισμα από το τρίτο με όποιον τρόπο και αν μεταβληθούν· τα Α, Β έχουν μεγαλύτερο άθροισμα από το Γ· τα Α,Γ από το Β· και τα Β, Γ από το Α. Πρέπει από τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα Α, Β, Γ να κατασκευαστεί τρίγωνο. Τοποθετείται η ημιεθεία ΔΕ με άκρο το Δ, τοποθετείται το ΔΖ που είναι ίσο με το Α, το ΖΗ που είναι ίσο με το Β και το ΗΘ που είναι ίσο με το Γ. Και σχεδιάζεται ο κύκλος ΔΚΛ με κέντρο το Ζ και ακτίνα το ΖΔ. Παρομοίως, με κέντρο το Η και ακτίνα το ΗΘ σχεδιάζεται ο κύκλος ΚΛΘ, και προκύπτουν τα ΚΖ, ΚΗ. ισχυρίζομαι ότι από τα τρία ευθύγραμμα τμήματα που είναι ίσα με τα Α, Β, Γ κατασκευάστηκε το ΚΖΗ.

Γιατί το σημείο Ζ είναι το κέντρο του κύκλου ΔΚΛ, το ΖΔ είναι ίση με το ΖΚ. Αλλά το ΖΔ είναι ίσο με το Α. Και άρα το ΚΖ είναι ίσο με το Α. παρομοίως, το σημείο Η είναι το κέντρο του κύκλου ΛΚΘ, το ΗΘ είναι ίσο με το ΗΚ. Αλλά το ΗΘ είναι ίσο με το Γ. Και άρα το ΚΗ είναι ίσο με το Γ. Και το ΖΗ είναι ίσο με το Β. Τα τρία ευθύγραμμα τμήματα ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ είναι ίσα με τα Α, Β, Γ.

Άρα από τα τρία ευθύγραμμα τμήματα ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ, τα οποία είναι ίσα με τα ευθύγραμμα τμήματα Α, Β, Γ, κατασκευάζεται το τρίγωνο ΚΖΗ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

23. Να κατασκευαστεί ευθύγραμμη γωνία σε δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα σε δεδομένο σημείο της που να είναι ίση με τη δεδομένη ευθύγραμμη γωνία.

Έστω το δεδομένο ευθύγραμμο ΑΒ, και το δεδομένο σημείο της Α, και η δεδομένη ευθύγραμμη γωνία ΔΓΕ· πρέπει στο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και στο δεδομένο σημείο Α να κατασκευαστεί ευθύγραμμη γωνία ίση με τη γωνία ΔΓΕ.

Έστω τα σημεία Δ, Ε από τις ΓΔ, ΓΕ, και προκύπτει η ΔΕ. Και από τα τρία ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία είναι ίσα με τα ΓΔ, ΔΕ, ΓΕ, κατασκευάζεται το τρίγωνο ΑΖΗ, ώστε το ΓΔ να είναι ίσο με το ΑΖ, και το ΓΕ με το ΑΗ και ακόμη το ΔΕ με το ΖΗ.

Λοιπόν, τα ΔΓ, ΓΕ είναι ίσα αντίστοιχα με τα ΖΑ, ΑΗ και η βάση ΔΕ είναι ίση με τη βάση ΖΗ, άρα η γωνία ΔΓΕ είναι ίση με τη γωνία ΖΑΗ. Άρα κατασκευάζεται η ευθύγραμμη γωνία ΖΑΗ στο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο δεδομένο σημείο της Α που να είναι ίση με τη δεδομένη ευθύγραμμη γωνία ΔΓΕ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

24. Εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές του ενός ίσες με (τις) δύο πλευρές του άλλου αντίστοιχα, και τη γωνία που οριοθετείται από αυτές τις δύο πλευρές μεγαλύτερη στο ένα τρίγωνο από το άλλο, και η βάση θα είναι μεγαλύτερη από τη βάση.

Έστω τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ οι δύο πλευρές ΑΒ, ΑΓ είναι ίσες αντίστοιχα με τις δύο πλευρές ΔΕ, ΔΖ, η ΑΒ ίση με τη ΔΕ και η ΑΓ ίση με τη ΔΖ, και η γωνία Α είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Δ. Ισχυρίζομαι ότι και η βάση ΒΓ είναι μεγαλύτερη από τη βάση ΕΖ. Γιατί, η ΒΑΓ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ΕΔΖ, κατασκευάζεται στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ και στο σημείο της Δ η γωνία ΕΔΗ που είναι ίση με τη γωνία ΒΑΓ, και η ΔΗ κατασκευάζεται ίση με τις ΑΓ, ΔΖ, και προκύπτουν τα ΕΗ, ΖΗ.

Λοιπόν, το ΑΒ είναι ίσο με το ΔΕ, και το ΑΓ με το ΔΗ, δηλαδή τα δύο ΒΑ, ΑΓ είναι ίσα με τα ΕΔ, ΔΗ αντίστοιχα. Και η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την ΕΔΗ. Άρα η βάση ΒΓ είναι ίση με τη βάση ΕΗ. Παρομοίως, η ΔΖ είναι ίση με τη ΔΗ, και η γωνία ΔΗΖ είναι ίση με τη ΔΖΗ. Άρα η ΔΖΗ είναι μεγαλύτερη από την ΕΗΖ. Άρα η ΕΖΗ είναι πολύ μεγαλύτερη από την ΕΗΖ. Και επειδή το τρίγωνο ΕΖΗ έχει μεγαλύτερη τη γωνία ΕΖΗ από την ΕΗΖ, η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία, άρα και η πλευρά ΕΗ είναι μεγαλύτερη από την ΕΖ. Το ΕΗ είναι ίσο με το ΒΓ. Άρα και το ΒΓ είναι μεγαλύτερο από το ΕΖ.

Άρα εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές του ενός ίσες με (τις) δύο πλευρές του άλλου αντίστοιχα, και τη γωνία που οριοθετείται από αυτές τις δύο πλευρές μεγαλύτερη στο ένα τρίγωνο από το άλλο, και η βάση θα είναι μεγαλύτερη από τη βάση· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

25. Εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές του ενός ίσες με τις δύο πλευρές του άλλου αντίστοιχα, και η βάση του ενός είναι μεγαλύτερη από τη βάση του άλλου, θα έχουν και τη γωνία του ενός, αυτήν που οριοθετείται από τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα, μεγαλύτερη από τη γωνία του άλλου.

Έστω τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ που έχουν τις δύο πλευρές ΑΒ, ΑΓ ίσες με τις πλευρές ΔΕ, ΔΖ αντίστοιχα, η ΑΒ είναι ίση με τη ΔΕ, και η ΑΓ με τη ΔΖ. Και η βάση ΒΓ είναι μεγαλύτερη από τη βάση ΕΖ. Ισχυρίζομαι ότι και η γωνία ΒΑΓ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ΕΔΖ.

Γιατί αν δεν είναι μεγαλύτερη, είται είναι ίση με αυτήν ή μικρότερη. Λοιπόν, δεν είναι ίση η ΒΑΓ με τη ΕΔΖ· γιατί, αν ήταν ίση και η βάση ΒΓ θα ήταν ίση με τη βάση ΕΖ· που δεν είναι. Άρα η γωνία ΒΑΓ δεν είναι ίση με την ΕΔΖ. Ούτε μικρότερη είναι η ΒΑΓ από την ΕΔΖ· γιατί, θα ήταν μικρότερη και η βάση ΒΓ από τη βάση ΕΖ· που δεν είναι. Άρα η γωνία ΒΑΓ δεν είναι μικρότερη από την ΕΔΖ. Αποδείχθηκε και ότι ούτε ίση δεν είναι· άρα η ΒΑΓ είναι μεγαλύτερη από την ΕΔΖ.

Άρα εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές του ενός ίσες με τις δύο πλευρές του άλλου αντίστοιχα, και η βάση του ενός είναι μεγαλύτερη από τη βάση του άλλου, θα έχουν και τη γωνία του ενός, αυτήν που οριοθετείται από τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα, μεγαλύτερη από τη γωνία του άλλου· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

26. Εάν σε δύο τρίγωνα οι δύο γωνίες του ενός είναι ίσες με τις δύο γωνίες του άλλου αντίστοιχα, και η μία πλευρά του ενός, είτε προσκείμενη στις ίσες γωνίες ή απέναντι από κάποια από αυτές, είναι ίση με τη μία πλευρά του άλλου, και οι υπόλοιπες πλευρές θα είναι ίσες με τις υπόλοιπες πλευρές (αντίστοιχα) και η τρίτη γωνία ίση με την τρίτη γωνία.

Έστω τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ, οι δύο γωνίες ΑΒΓ, ΒΓΑ ίσες με τις δύο γωνίες ΔΕΖ, ΕΖΔ αντίστοιχα, η ΑΒΓ ίση με τη ΔΕΖ και η ΒΓΑ ίση με την ΕΖΔ· και έχουν τη μία πλευρά του ενός ίση με τη μία πλευρά του άλλου, ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση όπου η ΒΓ είναι ίση με την ΕΖ. Ισχυρίζομαι ότι θα έχουν και τις υπόλοιπες πλευρές ίσες με τις υπόλοιπες πλευρές αντίστοιχα, η ΑΒ ίση με τη ΔΕ και η ΑΓ ίση με τη ΔΖ, και την τρίτη γωνία ίση με την τρίτη γωνία, η ΒΑΓ ίση με την ΕΔΖ.

Γιατί, αν η ΑΒ είναι άνιση με τη ΔΕ, μία από αυτές θα είναι μεγαλύτερη. Έστω μεγαλύτερη η ΑΒ, και τοποθετείται το ΒΗ που είναι ίση με το ΔΕ, και προέκυψε το ΗΓ.

Λοιπόν, το ΑΒ είναι ίσο με το ΔΕ, μία από αυτές είναι μεγαλύτερη. Έστω μεγαλύτερο το ΑΒ, και τοποθετείται το ΒΗ που είναι ίσο με το ΔΕ, και προκύπτει το ΗΓ.

Λοιπόν, το ΒΗ είναι ίσο με το ΔΕ, το ΒΓ είναι ίσο με το ΕΖ, δηλαδή τα δύο ΒΗ, ΒΓ είναι ίσα με τα ΔΕ, ΕΖ αντίστοιχα. Και η γωνία ΗΒΓ είναι ίση με τη γωνία ΔΕΖ. Άρα η βάση ΗΓ είναι ίση με τη βάση ΔΖ, και το τρίγωνο ΗΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ, και οι υπόλοιπες γωνίες είναι ίσες με τις υπόλοιπες γωνίες, που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές. Άρα η γωνία ΗΓΒ είναι ίση με τη γωνία ΔΖΕ. Αλλά η ΔΖΕ είναι ίση με τη ΒΓΑ. Άρα και η ΒΓΗ είναι ίση με τη ΒΓΑ, η μικρότερη με τη μεγαλύτερη· αυτό ακριβώς που είναι αδύνατο. Άρα το ΑΒ είναι δεν άνισο με το ΔΕ. Άρα είναι ίσο. Και το ΒΓ είναι ίσο με το ΕΖ. Τα δύο ΑΒ, ΒΓ είναι ίσα με τα ΔΕ, ΕΖ αντίστοιχα. Και η γωνία ΑΒΓ είναι ίσο με το ΔΕΖ. Άρα η βάση ΑΓ είναι ίσο με τη βάση ΔΖ, και η τρίτη γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την τρίτη γωνία ΕΔΖ.

Αλλά ας εξετάσουμε παρομοίως και τη δεύτερη περίπτωση. Έστω ότι οι προσκείμενες στις ίσες γωνίες πλευρές είναι ίσες, η ΑΒ είναι ίση με τη ΔΕ. Παρομοίως ισχυρίζομαι ότι και οι υπόλοιπες πλευρές είναι ίσες με τις υπόλοιπες πλευρές, το ΑΓ είναι ίσο με το ΔΖ, το ΒΓ είναι ίσο με το ΕΖ και ακόμα η υπόλοιπη γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την υπόλοιπη γωνία ΕΔΖ.

Γιατί αν το ΒΓ είναι άνισο με το ΕΖ, μία από αυτές είναι μεγαλύτερο. Έστω μεγαλύτερο, αν είναι δυνατόν, το ΒΓ, και τοποθετείται το ΒΘ ίσο με το ΕΖ, και προκύπτει το ΑΘ. Και το ΒΘ είναι ίσο με το ΕΖ το ΑΒ με το ΔΕ, δηλαδή τα δύο ΑΒ, ΒΘ είναι ίσα ΔΕ, ΕΖ αντίστοιχα. Και οριοθετούν ίσες γωνίες. Άρα η βάση ΑΘ είναι ίση με τη βάση ΔΖ, και το τρίγωνο ΑΒΘ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ, και οι υπόλοιπες γωνίες είναι ίσες με τις υπόλοιπες γωνίες, απέναντι από τις οποίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές. Άρα η γωνία ΒΘΑ είναι ίση με την ΕΖΔ. Αλλά η ΕΖΔ είναι ίση με τη ΒΓΑ. Η εξωτερική γωνία ΒΘΑ του τριγώνου ΑΘΓ είναι ίση με την εσωτερική απέναντι γωνία ΒΓΑ· αυτό ακριβώς που είναι αδύνατον. Άρα το ΒΓ είναι άνισο με το ΕΖ· άρα είναι ίσο. Και το ΑΒ είναι ίσο με το ΔΕ. Τα ΑΒ, ΒΓ είναι ίσα με τα ΔΕ, ΕΖ αντίστοιχα· και οριοθετούν ίσες γωνίες. Άρα η βάση ΑΓ είναι ίση με τη βάση ΔΖ, και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το ΔΕΖ τρίγωνο και η υπόλοιπη γωνία είναι ίση με την υπόλοιπη γωνία την ΕΔΖ.

Άρα εάν σε δύο τρίγωνα οι δύο γωνίες του ενός είναι ίσες με τις δύο γωνίες του άλλου αντίστοιχα, και η μία πλευρά του ενός, είτε προσκείμενη στις ίσες γωνίες ή απέναντι από κάποια από αυτές, είναι ίση με τη μία πλευρά του άλλου, και οι υπόλοιπες πλευρές θα είναι ίσες με τις υπόλοιπες πλευρές (αντίστοιχα) και η τρίτη γωνία ίση με την τρίτη γωνία· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

27. Εάν σε δύο ευθύγραμμα τμήματα ένα ευθύγραμμο τμήμα, που τα τέμνει, σχηματίζει δύο ίσες εναλλάξ γωνίες, τα δύο ευθύγραμμα τμήματα θα είναι παράλληλα.

Έστω τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ που τα τέμνει η ΕΖ σχηματίζοντας τις εναλλάξ γωνίες ΑΕΖ, ΕΖΔ ίσες. Ισχυρίζομαι ότι το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ.

Γιατί αν δεν είναι, προεκτεινόμεντα τα ΑΒ, ΓΔ θα τεμνηθούν είτε προς το μέρος των Β, Δ είτε προς το μέρος των Α, Γ. Έστω ότι προεκτείνονται προς το μέρος των Β, Δ και τέμνονται στο Η. Στο τρίγωνο ΗΕΖ η γωνία ΑΕΖ είναι ίση με την εσωτερική και απέναντι ΕΖΗ· αυτό ακριβώς που είναι αδύνατο. Άρα αν τα ΑΒ, ΓΔ προεκταθούν προς το μέρος των Β, Δ δε θα τεμνηθούν. Παρομοίως αποδεικνύεται ότι ούτε προς το μέρος των Α, Γ δε θα τεμνηθούν. Αυτά που δεν τέμνονται πουθενά είναι παράλληλα· άρα το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ.

Άρα εάν σε δύο ευθύγραμμα τμήματα ένα ευθύγραμμο τμήμα, που τα τέμνει, σχηματίζει δύο ίσες εναλλάξ γωνίες, τα δύο ευθύγραμμα τμήματα θα είναι παράλληλα· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

28. Εάν σε δύο ευθύγραμμα τμήματα ένα ευθύγραμμο τμήμα, που τα τέμνει, σχηματίζει ίσες τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες, ή σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με τέτοιο τρόπο, ώστε να έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές, τα δύο ευθύγραμμα τμήματα θα είναι παράλληλα.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα τα ΑΒ, ΓΔ, τα τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ, και είτε σχηματίζει την εκτός ΕΗΒ ίση με την απέναντι εντός ΗΘΔ ή σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες ΒΗΘ, ΗΘΔ που έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές. Ισχυρίζομαι ότι το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ.

Γιατί, η ΕΗΒ είναι ίση με την ΗΘΔ, αλλά η ΕΗΒ είναι ίση με την ΑΗΘ, και άρα η ΑΗΘ είναι ίση με την ΗΘΔ. Και είναι εναλλάξ. Άρα το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ.

Παρομοίως, οι ΒΗΘ, ΗΘΔ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές, και οι ΑΗΘ, ΒΗΘ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές, άρα οι ΑΗΘ, ΒΗΘ έχουν άθροισμα ίσο με τις ΒΗΘ, ΗΘΔ. Αφαιρείται η κοινή γωνία ΒΗΘ. Άρα η υπόλοιπη ΑΗΘ είναι ίση με την υπόλοιπη ΗΘΔ· και είναι εναλλάξ. Άρα το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ.

Άρα εάν σε δύο ευθύγραμμα τμήματα ένα ευθύγραμμο τμήμα, που τα τέμνει, σχηματίζει ίσες τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες, ή σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με τέτοιο τρόπο, ώστε να έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές, τα δύο ευθύγραμμα τμήματα θα είναι παράλληλα· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

29. Το ευθύγραμμο τμήμα που τέμνει τα παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα σχηματίζει τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, και την εκτός ίση με την απέναντι εντός, και τις εντός και επί τα αυτά να έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές.

Δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ τα τέμνει το ΕΖ. Ισχυρίζομαι ότι οι εναλλάξ γωνίες ΑΗΘ, ΗΘΔ είναι ίσες, και η εκτός γωνία ΕΗΒ είναι ίση με την απέναντι εντός ΗΘΔ, και οι εντός και επί τα αυτά ΒΗΘ, ΗΘΔ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές.

Αν η ΑΗΘ είναι άνιση με την ΗΘΔ, μία από αυτές είναι μεγαλύτερη. Έστω μεγαλύτερη η ΑΗΘ. Κοινή γωνία είναι η ΒΗΘ. Άρα οι ΑΗΘ, ΒΗΘ εχουν μεγαλύτερο άθροισμα πό τις ΒΗΘ, ΗΘΔ. Αλλά οι ΑΗΘ, ΒΗΘ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές. Άρα (και) οι ΒΗΘ, ΗΘΔ είναι μικρότερες από δύο ορθές. Αυτά, που προεκτείνονται στο άπειρο από δύο γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τέμνονται. Άρα τα ΑΒ, ΓΔ προεκτεινόμενα στο άπειρο τέμνονται. Δεν τέμνονται διότι είναι παράλληλα. Άρα η ΑΗΘ δεν είναι άνιση με την ΗΘΔ. Άρα είναι ίση. Αλλά οι ΑΗΒ, ΕΗΒ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές. Και η ΕΗΒ είναι ίση με την ΗΘΔ. Κοινή γωνία είναι η ΒΗΘ. Άρα οι ΕΗΒ, ΒΗΘ έχουν άθροισμα ίσο με ΒΗΘ, ΗΘΔ. Αλλά οι ΕΗΒ, ΒΗΘ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές. Και άρα οι ΒΗΘ, ΗΘΔ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές.

Άρα το ευθύγραμμο τμήμα που τέμνει τα παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα σχηματίζει τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, και την εκτός ίση με την απέναντι εντός, και τις εντός και επί τα αυτά να έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

30. Τα ευθύγραμμα τμήματα που είναι παράλληλα στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα είναι και μεταξύ τους παράλληλα.

Έστω το ΕΖ παράλληλο στο ΑΒ και το ΓΔ. Ισχυρίζομαι ότι και το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ. Αυτά τα τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΗΚ.

Και τα παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΕΖ τα τέμνει το ΗΚ, άρα η ΑΗΚ είναι ίση με την ΗΘΖ. Παρομοίως, τα παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα ΕΖ, ΓΔ τα τέμνει το ΗΚ, η ΗΘΖ είναι ίση με την ΗΚΔ. Και αποδείχθηκε και ότι η ΑΗΚ είναι ίση με την ΗΘΖ. Άρα και η ΑΗΚ είναι ίση με την ΗΚΔ. Και είναι εναλλάξ. Άρα το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ.

(Άρα τα ευθύγραμμα τμήματα που είναι παράλληλα στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα είναι και μεταξύ τους παράλληλα·) αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

31. Να διέλεθει ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο σε δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα από δεδομένο σημείο.

Έστω το δεδομένο σημείο Α, και το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. Πρέπει διέλθει το ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο στο ΒΓ από το Α.

Έστω το τυχαίο σημείο Δ του ΒΓ, και προκύπτει το ΑΔ. Και κατασκευάζεται στο ΔΑ και στο σημείο της Α η γωνία ΑΔΓ που είναι ίση με τη ΔΑΕ. Και προεκτείνονται από το ευθύγραμμο τμήμα ΕΑ το ευθύγραμμο τμήμα ΑΖ.

Και τα δύο ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ, ΕΖ, που τέμνονται από το ΑΔ, σχημάτισαν τις εναλλάξ γωνίες ΕΑΔ, ΑΔΦ ίσα μεταξύ τους, άρα το ΕΑΖ είναι παράλληλη στο ΒΓ. Άρα από το δεδομένο σημείο Α διέρχεται το ευθύγραμμο τμήμα ΕΑΖ παράλληλο στο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

32. Σε κάθε τρίγωνο, αν μία πλευρά προεκταθεί, η εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, και οι τρεις εσωτερικές γωνίες του τριγώνου έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές.

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, και προεκτείνεται από αυτό μία πλευρά η ΒΓ μέχρι το Δ. Ισχυρίζομαι ότι η εξωτερική γωνία ΑΓΔ είναι ίση με τις δύο απέναντι ΓΑΒ, ΑΒΓ, και οι τρεις εσωτερικές γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ είναι ίσες με δύο ορθές.

Γιατί το ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ διέρχεται από το Γ παράλληλο στο ΑΒ.

Και το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΕ, και αυτά τα τέμνει το ΑΓ, οι εναλλάξ γωνίες ΒΑΓ, ΑΓΕ είναι ίσες μεταξύ τους. Παρομοίως, το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΕ, και αυτά τα τέμνεο το ΒΔ, η εξωτερική γωνία ΕΓΔ είναι ίση με την απέναντι εσωτερική ΑΒΓ. Και αποδείχθηκε και ότι η ΑΓΕ είναι ίση με τη ΒΑΓ. Άρα όλη η γωνία ΑΓΔ είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι ΒΑΓ, ΑΒΓ.

Κοινή γωνία είναι η ΑΓΒ. Άρα οι ΑΓΔ, ΑΓΒ έχουν άθροισμα ίσο με τις ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ. Αλλά οι ΑΓΔ, ΑΓΒ είναι ίσες με δύο ορθές. Και άρα οι ΑΓΒ, ΒΓΑ, ΓΑΒ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές.

Σε κάθε τρίγωνο, αν μία πλευρά προεκταθεί, η εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, και οι τρεις εσωτερικές γωνίες του τριγώνου έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

33. Από ίσα και παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα προκύπτουν χωρίς να διασταυρώνονται^[13] κάποια άλλα ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία είναι ίσα και παράλληλα.

Έστω τα ίσα και παράλληλα ΑΒ, ΓΔ, και προκύπτουν από αυτά χωρίς να διασταυρώνονται^[13] τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΒΔ. Ισχυρίζομαι ότι τα ΑΓ, ΒΔ είναι ίσα και παράλληλα.

Προκύπτει η ΒΓ. Και επειδή το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ, και αυτά τα τέμνει το ΒΓ, οι εναλλάξ γωνίες ΑΒΓ, ΒΓΔ είναι ίσες μεταξύ τους. Και επειδή το ΑΒ είναι ίσο με το ΓΔ και κοινή πλευρά είναι η ΒΓ, τα δύο ΑΒ, ΒΓ είναι ίσα με τα ΒΓ, ΓΔ· και η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με τη γωνία ΒΓΔ. Άρα η βάση ΑΓ είναι ίση με τη βάση ΒΔ, και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΒΓΔ, και οι υπόλοιπες γωνίες θα είναι ίσες με τις υπόλοιπες γωνίες αντίστοιχα, απέναντι από τις οποίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές. Άρα η γωνία ΑΓΒ είναι ίση με τη γωνία ΓΒΔ. Και επειδή στα δύο ευθύγραμμα τμήματα τα ΑΓ, ΒΔ, τα τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ, το οποίο σχημάτισε τις εναλλάξ γωνίες ίσες, άρα το ΑΓ είναι παράλληλο στο ΒΔ. Αποδείχθηκαι και αυτή ίση.

Άρα από ίσα και παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα προκύπτουν χωρίς να διασταυρώνονται^[13] κάποια άλλα ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία είναι ίσα και παράλληλα· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

34. Στα παραλληλόγραμμα χωρία οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, και η διάμετρος τα διχοτομεί.

Έστω το παραλληλόγραμμο χωρίο ΑΓΒΔ, και η διάμετρός του ΒΓ. Ισχυρίζομαι ότι στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, και η διάμετρος ΒΓ το διχοτομεί.

Γιατί το ΑΒ είναι παράλληλο στο ΓΔ, και αυτά τα τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ, οι εναλλάξ γωνίες ΑΒΓ, ΒΓΔ είναι ίσες μεταξύ τους. Παρομοίως, το ΑΓ είναι παράλληλο στο ΒΔ, και αυτά τα τέμνει το ΒΓ, οι εναλλάξ γωνίες ΑΓΒ, ΓΒΔ είναι ίσες μεταξύ τους. Στα δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΒΓΔ οι δύο γωνίες ΑΒΓ, ΒΓΑ του ενός είναι ίσες με τις δύο γωνίες ΒΓΔ, ΓΒΔ του άλλου αντίστοιχα, και η μία πλευρά του ενός είναι ίση με τη μία πλευρά του άλλου, η κοινή προσκείμενη πλευρά ΒΓ. Άρα θα έχουν και τις υπόλοιπες πλευρές ίσες με τις υπόλοιπες πλευρές και την τρίτη γωνία ίση με την τρίτη γωνία. Άρα η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΓΔ, η ΑΓ ίση με τη ΒΔ, και ακόμα η γωνία ΒΑΓ ίση με τη γωνία ΓΔΒ. Και η γωνία ΑΒΓ ίση με τη γωνία ΒΓΔ, η ΓΒΔ με την ΑΓΒ, άρα ολόκληρη η ΑΒΔ ίση με την ολόκληρη ΑΓΔ. Και αποδείχθηκε και ότι η ΒΓΑ είναι ίση με τη ΓΔΒ.

Άρα στα παραλληλόγραμμα χωρία οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Ισχυρίζομαι και ότι η διάμετρος τα διχοτομεί. Γιατί η ΑΒ είναι ίση με τη ΓΔ, η ΒΓ είναι κοινή πλευρά, δηλαδή οι δύο ΑΒ, ΒΓ είναι ίσες με τις ΓΔ, ΒΓ αντίστοιχα. Και η γωνία ΑΒΓ είναι ίση ΒΓΔ. Άρα και η βάση ΑΓ είναι ίση ΔΒ. (Άρα) και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΒΓΔ.

Άρα η διάμετρος ΒΓ διχοτομεί το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

35. Τα παραλληλόγραμμα που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων είναι ισοδύναμα^[14] μεταξύ τους.

Έστω τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση ΒΓ και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων ΑΖ, ΒΓ. Ισχυρίζομαι ότι το ΑΒΓΔ είναι ισοδύναμο με το παραλληλόγραμμο ΕΒΓΖ.

Επειδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, το ΑΔ είναι ίση με το ΒΓ. Παρομοίως, και το ΕΖ είναι ίση με το ΒΓ, ώστε και το ΑΔ να είναι ίσο με το ΕΖ. Κοινο ευθύγραμμο τμήμα είναι το ΔΕ. Άρα ολόκληρο το ΑΕ είναι ίσο με το ΔΖ. Είναι και το ΑΒ ίσο με το ΔΓ. Δηλαδή τα δύο ΕΑ, ΑΒ είναι ίσα με τα ΖΔ, ΔΓ αντίστοιχα, και η γωνία ΖΔΓ είναι ίση με την ΕΑΒ, η εκτός με την εντός. Άρα η βάση ΕΒ είναι ίση με τη βάση ΖΓ, και το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΖΓ. Αφαιρείται το κοινό εμβαδόν ΔΗΕ. Λοιπόν, το τραπέζιο ΑΒΗΔ είναι ισοδύναμο με το τραπέζιο ΕΗΓΖ. Το εμβαδόν ΗΒΓ είναι κοινό. Άρα ολόκληρο το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι ίσο με ολόκληρο το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΕΒΓΖ.

Άρα τα παραλληλόγραμμα που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων είναι ισοδύναμα^[14] μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

36. Τα παραλληλόγραμμα που βρίσκονται πάνω σε ίσες βάσεις και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων είναι ισοδύναμα^[14] μεταξύ τους.

Έστω τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ που βρίσκονται πάνω στις ίσες βάσεις ΒΓ, ΖΗ και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ΑΘ, ΒΗ. Ισχυρίζομαι ότι το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ισοδύναμο^[14] με το ΕΖΗΘ.

Προκύπτουν τα ΒΕ, ΓΘ. Και το ΒΓ είναι ίσο με το ΖΗ, αλλά το ΖΗ είναι ίσο με το ΕΘ, και άρα το ΒΓ είναι ίσο με το ΕΘ· είναι και παράλληλα. Και προκύπτουν από αυτά τα ΕΒ, ΘΓ. Από ίσα και παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα προκύπτουν χωρίς να διασταυρώνονται^[13] κάποια άλλα ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία είναι ίσα και παράλληλα. (Και άρα τα ΕΒ, ΘΓ είναι ίσα και παράλληλα). Άρα το ΕΒΓΘ είναι παραλληλόγραμμο. Και είναι ισοδύναμο^[14] με το ΑΒΓΔ, γιατί έχει ως βάση την ίδια βάση ΒΓ, και βρίσκεται μεταξύ των ίδιων παράλληλων ΒΓ, ΑΘ. Παρομοίως, και το ΕΖΗΘ είναι ίσο με το ίδιο ΕΒΓΘ, ώστε και το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ να είναι ισοδύναμο^[14] με το ΕΖΗΘ.

Άρα τα παραλληλόγραμμα που βρίσκονται πάνω σε ίσες βάσεις και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων είναι ισοδύναμα^[14] μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

37. Τα τρίγωνα που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων είναι ισοδύναμα^[14] μεταξύ τους.

Έστω τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΒΓ που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση ΒΓ και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ΑΔ, ΒΓ. Ισχυρίζομαι ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΔΒΓ.

Το ΑΔ προεκτείνεται και από τις δύο μεριές μέχρι τα Ε, Ζ και από το μεν Β άγεται το ΒΕ παράλληλο στο ΓΑ, και από το δε Γ άγεται το ΓΖ παράλληλο στο ΒΔ. Άρα το κάθε ένα από τα ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ είναι παραλληλόγραμμο· και είναι ισοδύναμα, γιατί βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση ΒΓ και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ΒΓ, ΕΖ. Και το τρίγωνο ΑΒΓ έχει το μισό εμβαδόν του παραλληλόγραμμου ΕΒΓΑ, γιατί η διάμετρος ΑΒ το διχοτομεί. Και το τρίγωνο ΔΒΓ έχει το μισό εμβαδόν του παραλληλόγραμμου ΔΒΓΖ, γιατί η διάμετρος ΔΓ το διχοτομεί. (Και τα μισά του ίδιου αντικειμένου είναι ίσα μεταξύ τους). Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΔΒΓ.

Άρα τα τρίγωνα που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων είναι ισοδύναμα^[14] μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

38. Τα τρίγωνα που βρίσκονται πάνω σε ίσες βάσεις και μεταξύ των ίδιων παράλληλων είναι ισοδύναμα^[14] μεταξύ τους.

Έστω τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ που βρίσκονται πάνω στις ίσες βάσεις ΒΓ, ΕΖ και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΒΖ, ΑΔ. Ισχυρίζομαι ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΔΕΖ.

Το ΑΔ προεκτείνεται και από τις δυο μεριές στα Η, Θ και από το μεν Β άγεται το ΒΗ παράλληλο στο ΓΑ, και από το δε Ζ άγεται το ΖΘ παράλληλο στο ΔΕ. Άρα το κάθε ένα από τα ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ είναι παραλληλόγραμμο. Και το ΗΒΓΑ είναι ίσο με το ΔΕΖΘ, γιατί βρίσκονται πάνω στις ίσες βάσεις ΒΓ, ΕΖ και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ΒΖ, ΗΘ. Και το τρίγωνο ΑΒΓ έχει το μισό εμβαδόν του παραλληλόγραμμου ΗΒΓΑ, γιατί η διάμετρος ΑΒ το διχοτομεί. Το τρίγωνο ΖΕΔ έχει το μισό εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΔΕΖΘ, γιατί η διάμετρος ΔΖ το διχοτομεί. (Και τα μισά του ίδιου αντικειμένου είναι ίσα μεταξύ τους). Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΔΕΖ.

Άρα τα τρίγωνα που βρίσκονται πάνω σε ίσες βάσεις και μεταξύ των ίδιων παράλληλων είναι ισοδύναμα μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

39. Τα ισοδύναμα^[14] τρίγωνα που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση και προς το ίδιο μέρος της βάσης βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων.

Έστω τα ίσα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΒΓ που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση ΒΓ και προς το ίδιο μέρος της. Ισχυρίζομαι ότι βρίσκονται και μεταξύ των ίδιων παράλληλων.

Προκύπτει το ΑΔ. Ισχυρίζομαι ότι το ΑΔ είναι παράλληλο στο ΒΓ.

Γιατί αν δεν είναι, από το σημείο Α άγεται το ΑΕ που είναι παράλληλο στο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ, και προκύπτει το ΕΓ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΕΒΓ, γιατί βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση και μεταξύ των ίδιων παράλληλων. Αλλά το ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το ΔΒΓ. Και το ΔΒΓ είναι ισοδύναμο με το ΕΒΓ, το μεγαλύτερο με το μικρότερο, αυτό ακριβώς που είναι αδύνατον. Άρα το ΑΕ δεν είναι παράλληλο στο ΒΓ. Παρομοίως θα αποδείξουμε για οποιοδήποτε άλλο ευθύγραμμο τμήμα εκτός από το ΑΔ. Άρα το ΑΔ είναι παράλληλο στο ΒΓ.

Άρα τα ισοδύναμα τρίγωνα που βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση και προς το ίδιο μέρος της βάσης βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

40. Τα ισοδύναμα^[14] τρίγωνα που βρίσκονται πάνω σε ίσες βάσεις και προς το ίδιο μέρος τους βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων.

Έστω τα ισοδύναμα τρίγωνα ΑΒΓ, ΓΔΕ που βρίσκονται πάνω στις ίσες βάσεις ΒΓ, ΓΕ και προς το ίδιο μέρος τους. Ισχυρίζομαι ότι βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων.

Προκύπτει το ΑΔ. Ισχυρίζομαι ότι το ΑΔ είναι παράλληλο στο ΒΕ.

Γιατί αν δεν είναι, από το Α άγεται το ΑΖ που είναι παράλληλο στο ΒΕ, και προκύπτει το ΖΕ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΖΓΕ, γιατί βρίσκονται πάνω στις ίσες βάσεις ΒΓ, ΓΕ και μεταξύ των παραλλήλων ΒΕ, ΑΖ. Αλλά το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το (τρίγωνο) ΔΓΕ. Άρα και το (τρίγωνο) ΔΓΕ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΖΓΕ, το μεγαλύτερο με το μικρότερο· αυτό ακριβώς που είναι αδύνατον. Άρα το ΑΖ δεν είναι παράλληλο στο ΒΕ. Παρομοίως θα αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε άλλο ευθύγραμμο τμήμα εκτός από το ΑΔ. Άρα το ΑΔ είναι παράλληλο στο ΒΕ.

Άρα τα ισοδύναμα τρίγωνα που βρίσκονται πάνω σε ίσες βάσεις και προς το ίδιο μέρος τους βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

41. Εάν ένα παραλληλόγραμμο έχει την ίδια βάση με ένα τρίγωνο και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παράλληλων, το παραλληλόγραμμο έχει διπλάσιο εμβαδόν^[15] από το τρίγωνο.

Έστω το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ που έχει την ίδια βάση ΒΓ με το τρίγωνο ΕΒΓ και που βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παράλληλων ΒΓ, ΑΕ. Ισχυρίζομαι ότι το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τρίγωνο ΒΕΓ.

Προκύπτει το ΑΓ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΕΒΓ, γιατί βρίσκονται πάνω στην ίδια βάση ΒΓ και μεταξύ των ίδιων παράλληλων ΒΓ, ΑΕ. Αλλά το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τρίγωνο ΑΒΓ, γιατί η διάμετρος ΑΓ το διχοτομεί, ώστε το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ να έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τρίγωνο ΕΒΓ.

Παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω ταῖς ΒΓ, ΑΕ· λέγω, ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τοῦ ΒΕΓ τριγώνου.

Άρα εάν ένα παραλληλόγραμμο έχει την ίδια βάση με ένα τρίγωνο και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παράλληλων, το παραλληλόγραμμο έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τρίγωνο· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

42. Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο σε δεδομένη ευθύγραμμη γωνία ισοδύναμο^[14] με δεδομένο τρίγωνο.

Έστω το δεδομένο τρίγωνο ΑΒΓ και η δεδομένη ευθύγραμμη γωνία Δ. Δηλαδή, πρέπει να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο στην ευθύγραμμη γωνία Δ ισοδύναμο με το τρίγωνο ΑΒΓ.

Το ΒΓ διχοτομείται στο Ε, και προκύπτει το ΑΕ, και κατασκευάζεται στο ευθλυγραμμο τμήμα ΕΓ στο σημείο του Ε η ΓΕΖ που είναι ίση με τη γωνία Δ· και άγεται από το μεν Α το ΑΗ που είναι παράλληλο στο ΕΓ, από το δε Γ το ΓΗ που είναι παράλληλο στο ΕΖ· άρα το ΖΕΓΗ είναι παραλληλόγραμμο. Και επειδή το ΒΕ είναι ίσο με το ΓΕ, το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΕΓ. Και βρίσκονται πάνω στις ίσες βάσεις ΒΕ, ΕΓ και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΒΓ, ΑΗ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τρίγωνο ΑΕΓ, γιατί έχει την ίδια βάση με αυτό και βρίσκεται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. Άρα το παραλληλόγραμμο ΖΕΓΗ είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο ΑΒΓ. Και έχει τη γωνία ΓΕΖ ίση με τη δεδομένη γωνία Δ.

Άρα κατασκευάζεται παραλληλόγραμμο σε δεδομένη ευθύγραμμη γωνία ισοδύναμο^[14] με δεδομένο τρίγωνο· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

43. Σε κάθε παραλληλόγραμμο τα παραπληρώματα των παραλληλογράμμων^[16] γύρω από τη διάμετρο είναι ίσες μεταξύ τους.

Έστω το παραλληλόγραμο ΑΒΓΔ, η διάμετρός του ΑΓ, γύρω από την ΑΓ έστω τα παραλληλόγραμμα ΖΘ, ΖΗ και τα αποκαλούμενα παραπληρώματα ΒΚ, ΚΔ. Ισχυρίζομαι ότι το παραπλήρωμα ΒΚ είναι ίσο με το παραπλήρωμα ΚΔ.

Επειδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, η διάμετρός του το ΑΓ, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΓΔ. Παρομοίως, επειδή το ΕΘ είναι παραλληλόγραμμο, και το ΑΚ είναι η διάμετρός του, το τρίγωνο ΑΕΚ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΘΚ. Για αυτό και το τρίγωνο ΚΖΓ είναι ίσο με το ΚΗΓ. Λοιπόν, το τρίγωνο ΑΕΚ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΘΚ, και το ΚΖΓ με το ΚΗΓ, το εμβαδόν του τρίγωνο ΑΕΚ συν το εμβαδόν του τριγώνου ΚΗΓ είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΘΚ συν το τρίγωνο ΚΖΓ. Είναι και ολόκληρο το τρίγωνο ΑΒΓ ίσο με ολόκληρο το τρίγωνο ΑΔΓ. Άρα το υπόλοιπο παραπλήρωμα ΒΚ είναι ίσο με το υπόλοιπο παραπλήρωμα ΚΔ.

Άρα σε κάθε παραλληλόγραμμο χωρίο τα παραπληρώματα των παραλληλογράμμων γύρω από τη διάμετρο είναι ίσες μεταξύ τους· αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδειχθεί.

44. Να εφαρμοστεί παραλληλόγραμμο σε δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα με δεδομένη γωνία ισοδύναμο με το δεδομένο τρίγωνο.

Έστω το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το δεδομένο τρίγωνο Γ, και η δεδομένη ευθύγραμμη γωνία Δ. Δηλαδή, πρέπει να εφαρμοστεί στο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα με τη δεδομένη γωνία Δ παραλληλόγραμμο ισοδύναμο με το τρίγωνο Γ.

Κατασκευάζεται το παραλληλόγραμμο ΒΕΖΗ που είναι ίσο με το τρίγωνο Γ στη γωνία ΕΒΗ, ώστε να είναι ίση με τη Δ, και να έχει τοποθετηθεί το ευθύγραμμο τμήμα ΒΕ στην προέκταση του ΑΒ· και διέρχεται το ΖΗ από το Θ· και διέρχεται το ΑΘ από το Α παράλληλο στα ΒΗ, ΕΖ· και προκύπτει το ΘΒ. Και επειδή το ΘΖ εμπίπτει στα παράλληλα ΑΘ, ΕΖ, άρα οι ΑΘΖ, ΘΖΕ έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές. Άρα οι γωνίες ΒΘΗ, ΗΖΕ έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές. Και εάν σε δύο ευθύγραμμα τμήματα ένα ευθύγραμμο τμήμα σχηματίζει δύο γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε αν τα δύο ευθύγραμμα τμήματα προεκταθούν στο άπειρο, θα ταμούν. Άρα και τα ΘΒ, ΖΕ θα ταμούν αν προεκταθούν. Προεκτάθηκαν και τεμνήθηκαν στο Κ, και από το σημείο Κ διέρχεται παράλληλο στα ΕΑ, ΖΘ το ΚΛ· και προεκτάθηκαν τα ΘΑ, ΗΒ στα σημεία Λ, Μ. Άρα το ΘΛΚΖ είναι παραλληλόγραμμο, το ΘΚ είναι διάμετρός του· γύρω από τη ΘΚ υπάρχουν μεν τα παραλληλόγραμμα ΑΗ, ΜΕ και δε τα λεγόμενα παραπληρώματα^[16] ΛΒ, ΒΖ. Άρα το ΛΒ είναι ίσο με το ΒΖ. Αλλά το ΒΖ είναι ισοδύναμο^[14] με το τρίγωνο Γ. Άρα και το ΛΒ είναι ισοδύναμο^[14] με το Γ. Και επειδή, η γωνία ΗΒΕ είναι ίση με την ΑΒΜ, αλλά η ΗΒΕ είναι ίση με τη Δ, άρα και η ΑΒΜ είναι ίση με τη γωνία Δ.

Άρα, εφαρμόστηκε παραλληλόγραμμο σε δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα με δεδομένη γωνία ισοδύναμο με το δεδομένο τρίγωνο· αυτό ακριβώς που έπρεπε να γίνει.

45. Να κατασκευαστεί ευθύγραμμο παραλληλόγραμμο ισοδύναμο με δοσμένο στη δοσμένη ευθύγραμμη γωνία.

Έστω το μεν δοσμένο ευθύγραμμο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, η δε δοσμένη ευθύγραμμη γωνία Ε. Δηλαδή, πρέπει να κατασκευαστεί ευθύγραμμο παραλληλόγραμμο ίσο με το ΑΒΓΔ στη δεδομένη γωνία Ε.

Σημειώσεις των μεταφραστών

1. Στο πρωτότυπο κείμενο το ευθύγραμμο τμήμα αποκαλείται ευθεία ή πεπερασμένη ευθεία, ενώ η ευθεία αποκαλείται άπειρη ευθεία.
2. Κατά λέξη μετάφραση:Η μία ακουμπάει την άλλη.
3. Ο σύγρονος ορισμός της γωνίας είναι διαφορετικός και περιλαμβάνει την επίπεδη (όταν οι ευθείες βρίσκονται αντικρυστά κατά μήκος μιας ευθείας) και τη μη κυρτή γωνία. Στον ευκλείδιο ορισμό περιλαμβάνονται μόνο η οξεία, η αμβλεία και η ορθή γωνία.
4. Τα όρια εκτός από το ότι οριοθετούν το σχήμα προσδιορίζουν τα εσωτερικά και τα εξωτερικά σημεία του σχήματος. Γενικά στα Στοιχεία τα εσωτερικά σημεία θεωρούνται ότι ανήκουν και αυτά στο σχήμα.
5. Την τομή της περιφέρειας με τη διάμετρο.
6. Στην καθομιλουμένη το ευκλείδιο ρομβοειδές τετράπλευρο είναι γνωστό ως ορθογώνιο, ενώ το πλήρες όνομά του είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
7. Στη σύγχρονη ορολογία το σχήμα είναι γνωστό ως παραλληλόγραμμο.
8. σε ελεύθερη μετάφραση: Τα διπλάσια του ίδιου μεγέθους είναι ίσα μεταξύ τους.
9. σε ελεύθερη μετάφραση: Τα μισά του ίδιου μεγέθους είναι ίσα μεταξύ τους.
10. Με τον όρο ευθεία αποδίδεται η φράση άπειρη ευθεία (που κατά λέξη σημαίνει άπειρο ευθύγραμμο τμήμα). Έτσι, ο ορισμός 10 που αναφέρεται στην καθετότητα συμπεριλαμβάνει εκτός από ευθύγραμμα τμήματα και ευθείες.
11. Κατά λέξη στο πρωτότυπο κείμενο γράφεται: Σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά υποτείνει τη μεγαλύτερη γωνία.
12. Κατά λέξη στο πρωτότυπο κείμενο γράφεται: Σε κάθε τρίγωνο υπό τη μεγαλύτερη γωνία υποτείνει η μεγαλύτερη πλευρά.
13. Στο πρωτότυπο κείμενο αναφέρεται κατά λέξη (προς) στα ίδια μέρη.
14. Κατά λέξη στο πρωτότυπο κείμενο χρησιμοποιείται η λέξη ίσος και όχι η λέξη ισοδύναμος. Όμως στη σύγχρονη μαθηματική ορολογία δύο σχήματα είναι ίσα όταν είναι του ίδιου είδους και έχουν ίσες τις αντίστοιχες πλευρές, γωνίες, ακτίνες και τα λοιπά. Τα σχήματα που έχουν ίσα εμβαδά ονομάζονται ισοδύναμα.
15. Κατά λέξη στο πρωτότυπο κείμενο αναφέρεται είναι διπλάσιο.
16. Στο αρχικό παραλληλόγραμμο θεωρείται ένα σημείο σε μια διαγώνιό του. Από αυτό το σημείο διέρχονται δύο ευθείες παράλληλες στις πλευρές του παραλληλογράμμου. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζονται δύο εσωτερικά παραλληλόγραμμα. Στα στοιχεία αυτά τα παραλληλόγραμμα ονομάζονται παραπληρώματα (των παραλληλογράμμων) και προσδιορίζονται από τη διαγώνιό τους, αυτήν που τέμνει τη διαγώνιο του αρχικού παραλληλογράμμου.