§ 1. Ὅλα τὰ ἀριθμητικὰ ζητήματα διακρίνονται εἰς δύο ἀρχικὰ εἴδη, Θεωρήματα καὶ Προβλήματα. Καὶ θεώρημα μὲν λέγεται τὸ ζήτημα, ὁσάκις πρόκειται ν’ἀποδειχθῇ ἡ ὕπαρξις τῶν εἰς γνωστοὺς καὶ δεδομένους ἀριθμοὺς ἀναφερομένων ἰδιοτήτων. Πρόβλημα δὲ, ὁσάκις προτίθεται νὰ προσδιορισθῶσιν ἄγνωστοι ἀριθμοί, ἔχοντες σχέσεις γνωστὰς πρὸς ἄλλους γνωστοὺς καὶ δεδομένους.
Ἡ Ἄλγεβρα ἀντικείμενον ἔχουσα τὴν ἐπίλυσιν τῶν ζητημάτων ταύτων μεταχειρίζεται ἴδια σημεῖα, ἐπιτήδεια πρὸς γενικὴν καὶ σύντομον παράστασιν τῶν ποσοτήτων καὶ τῶν ἐπ’ αὐτῶν ἀναγκαίων ὑπολογισμῶν.
§ 2. Ἐκ τῶν σημείων τούτων κυριώτερα μὲν εἶναι τὰ ἐξῆς δέκα,
α.΄ Τὰ γράμματα τοῦ ἀλφαβήτου, τὰ ὁποῖα χρησιμεύουσι πρὸς παράστασιν τῶν ἀριθμῶν, ἐπὶ τῶν ὁποίων συλλογιζόμεθα· εἶναι δὲ ἀναγκαῖα, ἐπειδὴ δι’ αὐτῶν συντέμνομεν καὶ γενικεύομεν τοὺς συλλογισμούς, καὶ ἑπομένως ποριζόμεθα συνεπείας γενικὰς δυναμένας νὰ ἐφαρμοσθῶσιν έπὶ πάντων τῶν ὁμοειδῶν ζητημάτων. Καὶ τῷ ὄντι διὰ τῆς χρήσεως τῶν γραμμάτων μανθάνομεν ὅτι, ἐπὶ μὲν τῶν θεωρημάτων, ἰδιότης τις ἀνήκει ἐπίσης εἰς πολλοὺς ἀριθμούς· ἐπὶ δὲ τῶν προβλημάτων, ὅτι ὁ τρόπος τῆς λύσεώς των εἶναι ἀνεξάρτητος πάσης μερικῆς τιμῆς, ἥτις δίδεται εἰς τοὺς περιεχομένους εἰς τὴν ἐκφώνησίν των άριθμούς.
β.΄ Τὸ σημεῖον τῆς προσθέσεως +, τὸ ὁποῖον ἐκφέρεται πλέον, οὕτως α+β ἀπαγγέλλεται α πλέον β, φανερόνει δὲ ὅτι ὁ διὰ τοῦ β σημειωμένος ἀριθμὸς προστίθεται εἰς τὸν ὑπὸ τοῦ α παριστανόμενον, ἢ ἐμφαίνει τὸ ἄθροισμα τῶν δύο ἀριθμῶν α καὶ β.
