Σελίδα:Στοιχειώδης άλγεβρα - Μανάρης Σπυρίδων.pdf/13

5

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ὅθεν έὰν 2χ ηὐξημένον κατὰ 19 δίδῃ 67, ἕπεται ὅτι 2χ μόνον εἶναι ἴσον μὲ 67 μεῖον 19, ἢ 2χ=67-19, ἢ 2χ=48· λοιπὸν χ ἰσοῦται μὲ τὸ ἥμισυ τοῦ 48 τουτέστι χ= ${\tfrac {48}{2}}$ =24. Ὄντως δὲ τοῦ μικροτέρου 24, ὁ μεγαλήτερος εἶναι 24+19 ἢ 43.

Τῳ ὄντι 43+24=67, καὶ 43—24=19.

Πίναξ τῶν ἀλγεβρικῶν πράξεων.

Ἔστω ὁ μικρότερος ἀριθμὸς....................................................................................................................................................................................................................................................  ὁ μεγαλήτερος θέλει εἶσθαι....................................................................................................................................................................................................................................................  τὸ ἄθροισμα αὐτῶν ἰσοῦται μὲ τὸ ὅλον....................................................................................................................................................................................................................................................  ἑπομένως....................................................................................................................................................................................................................................................  λοιπὸν....................................................................................................................................................................................................................................................  καὶ....................................................................................................................................................................................................................................................

χ χ+19 2χ+19=67 2χ=67-19=48 χ= ${\tfrac {48}{2}}$ =24 χ+19=24+19=43

ΣΗΜ. Ὁ μαθητὴς δύναται νὰ λύσῃ τὸ αὐτὸ πρόβλημα σημειῶν διὰ χ τὸν μεγαλήτερον ἀριθμόν, ἑπομένως διὰ χ—19 τὸν μικρότερον.

§ 4.Γενικὴ λύσις. Τὸ ἄθροισμα δύο ἀριθμῶν εἶναι α, ἡ δὲ διαφορὰ αὐτῶμ, β, ζητοῦνται οἱ δύο ἀριθμοί.

Τὸ πρόβλημα τοῦτο δυνατὸν νὰ λυθῇ καὶ διὰ μόνου τοῦ συλλογισμοῦ ἐκτεθειμένου εἰς κοινὴν γλῶσσαν, ἀλλ’ ἵνα ἴδωμεν τῆν συντομίαν καὶ τὴν ἁπλότητα τῆς ἀλγεβρικῆς γλώσσης, ἀντιπαραθέτομεν τὴν σειρὰν τῶν εἰς τὴν λύσιν αὐτοῦ συλλογισμῶν ἐκτεθειμένων εἰς κοινὴν γλῶσαν μὲ τὴν ἀντίστοιχον ἀλγεβρικὴν σημείωσιν.

ὁ μικρότερος ἀριθμός....................................................................................................................................................................................................................................................  ὁ μεγαλήτερος ἰσοῦται με τον μικρότερον πλέον τὴν διαφοράν....................................................................................................................................................................................................................................................  ὁ μικρότερος πλέον ὁ μεγαλήτερος ἰσοῦται μὲ τὸ δοθὲν ἄθροισμα,....................................................................................................................................................................................................................................................  ἢ ὁ μικρότερος πλέον ὁ μικρότερος πλέον ἡ διαφορά ισοῦται μεὲ τὸ ἄθροισμα....................................................................................................................................................................................................................................................  ἢ δὶς ὁ μικρότερος πλέον ἡ διαφορά ισοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα....................................................................................................................................................................................................................................................  ἑπομένως δὶς ὁ μικρότερος ισοῦται μὲ τὸ ἄθροισμα μεῖον ἡ διαφορά....................................................................................................................................................................................................................................................  καὶ ἅπαξ ὁ μικρότερος ἰσοῦται μὲ τὸ ἥμισυ τοῦ ἀθροίσματος μεῖον τὸ ἥμισυ τῆς διαφορᾶς....................................................................................................................................................................................................................................................

χ χ+β χ+χ+β=α 2χ+β=α 2χ=α-β χ = ${\tfrac {\alpha -\beta }{2}}$=${\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}$

ἑπομένως γίνεται γνωστὸς καὶ ὁ μεγαλήτερος

χ+β=${\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}$+β=${\tfrac {\alpha }{2}}$+${\tfrac {\beta }{2}}$