θ.´ Τὸ σημεῖον τῆς ἰσότητος =, διὰ τοῦ ὁποίου φανερόνομεν, ὅτι δύο ποσότητες εἶναι ἴσαι, προφέρεται δὲ ἴσον.
Οὕτως ἵνα σημειώσωμεν, ὅτι ἡ διαφορὰ τοῦ 36 πρὸς τὸν 25 εἶναι ἴση μὲ 11 γράφομεν 36—25=11. ὡσαύτως, ἵνα παραστήσωμεν, ὅτι τὸ ἄθροισμα δύο ἀριθμῶν α καὶ β εἶναι ἴσον μὲ τρίτον τινὰ ἀριθμὸν, γ, γράφομεν α+β=γ.
ι.´ Τὸ σημεῖον τῆς ἀνισότητος > ἢ < διὰ τοῦ ὁποίου σημειοῦμεν, ὅτι ποσότης τις εἶναι μεγαλητέρα ἢ μικροτέρα ἄλλης τινός‧ καὶ ἡ μὲν μεγαλητέρα ποσότης τίθεται ἐντὸς τῆς γωνίας, ἡ δὲ μικροτέρα ἐκτὸς αὐτῆς. Οὕτως α>β παριστάνει ὅτι α εἶναι μεῖζον τοῦ β, ἐξ ἐναντίας α<β φανερόνει ὅτι α εἶναι ἔλασσον τοῦ β.
Ἀπὸ τὰ ἀνωτέρω ἐκτεθέντα βλέπομεν, ὅτι δυνάμεθα νὰ θεωρήσωμεν τὴν Ἄλγεβραν ὡς εἶδός τι γλώσσης συνισταμένης ἐκ διαφόρων σημείων, διὰ τῶν ὁποίων ἀκολουθοῦμεν μὲ περισσοτέραν εὐκολίαν τὸν σύνδεσμον τῶν ἰδεῶν εἰς τοὺς συλλογισμούς, τοὺς ὁποίους πρέπει νὰ κάμωμεν εἴτε πρὸς ἀπόδειξιν τῶν θεωρημάτων, εἴτε πρὸς λύσιν τῶν προβλημάτων.
§ 3. Ἵνα δείξωμεν τὴν ἐκ τῆς χρήσεως τῶν ἀλγεβρικῶν σημείων ὠφέλειαν ἂς λάβωμεν πρὸς ἐφαρμογὴν τὰ εξῆς ζητήματα.
Πρόβλημα Α.΄ Δοθέντος τοῦ ἀθροίσματος δύο ἀριθμῶν καὶ τῆς διαφορᾶς αὐτῶν, νὰ εὕρωμεν τοὺς δύο ἀριθμούς.
Λῦσις μερική. Ἔστω τὸ ἄθροισμα τῶν δύο ἀριθμῶν 67 καὶ ἡ διαφορὰ αὐτῶν 19. Ποῖοι εἶναι οἱ δύο ἀριθμοί;
Ἀς προσπαθήσωμεν κατὰ πρῶτον νὰ συνδέσωμεν διὰ τῶν σημφωνηθέντων σημείων τοὺς γνωστοὺς ἀριθμοὺς μὲ τοὺς αγνώστους, δηλ. νὰ παραστήσωμεν ἀλγεβρικῶς τὰς μεταξὺ αὐτῶν σχέσεις, κατὰ τὴν ἐκφώνησιν τοῦ προβλήματος. Πρὸς τοῦτο ἰδοὺ πὼς συλλογιζόμεθα.
Ἐὰν ἦτο γνωστὸς ὁ μικρότερος τῶν δύο ζητουμένων ἀριθμῶν, ἠθέλαμεν ἔχει τὸν μεγαλήτερον προσθέτοντες 19 εἰς τὸν μικρὸτερον. Τούτου τεθέντος ἂς σημειώσωμεν διὰ χ τὸν μικρότερον· ὁ μεγαλήτερος τότε θέλει σημειωθῇ διὰ χ+19. Τὸ ἄθροισμα αὐτῶν λοιπὸν εἶναι χ+χ+19 ἢ 2χ+19, ἀλλὰ κατὰ τὴν ἐκφώνησιν τὸ ἄθροισμα τοῦτο ἰσοῦται μὲ 67, ἔχομεν λοιπὸν τὴν ισότητα
